10. Funciones Uno a Uno e Inversas | Cálculo Diferencial

El botón 'Deshacer' de las Matemáticas

En funciones, si $f(x)$ convierte una entrada $x$ en una salida $y$ , la función inversa $f^{-1}(x)$ toma esa $y$ y te devuelve la $x$ original. Pero no toda función se puede deshacer. Míralo con $x^2$ .

Momento animado

Deshacer x²: una mitad y un espejo

$y = x^2$
$y = \sqrt{x}$
$y = x$

Etapa 1 de 5 · La función

Esta es

f(x) = x^2

. A cada entrada le toca una sola salida: es una función. Pero ¿se puede deshacer, volver de la salida a la entrada?

Notación Importante:

f^{-1}(x)

NO SIGNIFICA

1/f(x)

. El

-1

aquí es un símbolo de "reversa", no un exponente numérico.

Concepto Clave

"Gráficamente, la inversa es un reflejo sobre la línea diagonal y = x. Si doblas el papel en esa diagonal, las gráficas coinciden."

La Prueba de la Línea Horizontal

No todas las máquinas se pueden poner en reversa. Imagina una máquina trituradora de papel. Si metes un documento, sale confeti. ¿Puedes meter el confeti y sacar el documento original? No. Hay demasiada ambigüedad.

En matemáticas, esto pasa con funciones como $x^2$ . Si te digo que el resultado es 9, ¿empezamos con 3 o con -3? No sabemos.

Uno a Uno (Inyectiva)

Cada $y$ proviene de una ÚNICA $x$ .

Cualquier línea horizontal toca máx 1 vez.
Tiene inversa.

No Inyectiva

Dos $x$ distintas dan la misma $y$ .

Alguna línea horizontal toca +1 vez.
No tiene inversa (a menos que cortes un pedazo del dominio).

Pruébalo tú

Laboratorio

La recta horizontal y el espejo

Escoge una función y sube o baja la recta horizontal. Cuenta los cortes con la gráfica y mira la recta vertical que le corresponde en el reflejo.

$f(x) = x^2$
$\text{reflejo: } x = y^2$
$y = x$

Cortes con $y = 4$ : 2

Altura de la recta horizontal (c)c = 4

La recta y = 4 corta la parábola en dos puntos, x = ±2: dos entradas con la misma salida. En el reflejo, la recta x = 4 lo corta dos veces: el reflejo no es una función.

El Algoritmo de Inversión

Para encontrar la fórmula de $f^{-1}(x)$ , usamos una estrategia simple: intercambiamos los roles de X e Y.

Pasos para hallar la inversa

Paso 1

Escribe $y = f(x)$ .

Paso 2

Intercambia la $x$ y la $y$ .(Aquí es donde ocurre la magia de la inversión).

Paso 3

Despeja la nueva $y$ .

Paso 4

Reemplaza $y$ por $f^{-1}(x)$ .

Paso a paso: la inversa de una racional

Encuentra la inversa de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ y su dominio. (Ejemplo de la sección 10.7 del libro: aquí se despeja $x$ primero y se intercambian los nombres al final, que da lo mismo.)

1
Cambia f(x) por y
$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$
2
Multiplica por x − 3
Así desaparece la fracción (con x ≠ 3).
$y(x - 3) = 2x + 1$
3
Junta los términos con x a un lado
$xy - 2x = 3y + 1$
4
Saca x de factor común y divide
$\begin{gathered} x(y - 2) = 3y + 1 \\ x = \frac{3y + 1}{y - 2} \end{gathered}$
5
Intercambia x y y, y revisa el dominio
El dominio de la inversa es x ≠ 2. Cuadra: la asíntota horizontal de f es y = 2, así que 2 no está en su rango.
$f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$

Ejercicios: Álgebra Inversa y Criptografía

Inversa de una Función Racional

Encuentra la función inversa de $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$ :

Desencriptación mediante Función Inversa

Alice encripta con $C(m) = 3m + 7$ . Bob recibe el número 34. ¿Cuál es la llave $C^{-1}(y)$ y el mensaje $m$ ?

Practica: deshacer en orden contrario

Ejercicio 3: ¿Cuál se puede deshacer?

¿Cuál de estas funciones es uno a uno en todos los reales?

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): De Fahrenheit a Celsius

La temperatura en grados Fahrenheit es $F = 1{,}8C + 32$ , con $C$ en grados Celsius. Si una app del clima marca 77 °F, ¿cuántos grados Celsius son?

Ejercicio 5: La inversa de una raíz

¿Cuál es la inversa de $k(x) = \sqrt{x - 3}$ ?