1. Números Reales y Desigualdades | Cálculo Diferencial

La Estructura de los Números Reales

Momento animado

¿0,999… es igual a 1?

Etapa 1 de 5 · 0,9

En la recta, 0,9 queda cerca de 1, pero le falta 0,1: la barra roja. ¿Qué pasa si agregamos nueves?

El cálculo se construye sobre el conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ). Para entenderlos, no basta con saber contar; debemos entender su estructura de "muñeca rusa". Cada conjunto expande las limitaciones del anterior.

Clasificación

Racionales ( $\mathbb{Q}$ ): Todo número que puede escribirse como $p/q$ , con $p$ y $q$ enteros y $q \neq 0$ . Su expansión decimal termina (ej. 0,5) o se repite (ej. 0,333...).
Irracionales ( $\mathbb{I}$ ): Números con decimales infinitos y no periódicos. Son los huecos que llenan la recta (ej. $\pi, \sqrt{2}, e$ ).

La Propiedad de Completitud

Lo que hace especiales a los Reales es que no tienen "agujeros". A diferencia de los racionales (donde hay vacíos donde debería estar $\sqrt{2}$ ), los reales forman una línea continua perfecta. Esta propiedad es vital para definir el Límite.

Ejercicios: Conceptos Fundamentales

Ejercicio 1.1: El Período 0,999...

¿Es el número $0{,}999\ldots$ racional o irracional? ¿Es igual a 1?

Ejercicio 1.2: Racional + Irracional

Si sumamos un número racional y uno irracional (ej. $2 + \sqrt{3}$ ), ¿el resultado es?

Concepto Clave

"Todo punto en la recta numérica corresponde a un número real único. No hay huecos."

El Lenguaje de los Intervalos

En cálculo, rara vez nos interesa un punto aislado. Nos interesan los vecindarios, las cercanías y los rangos. Para eso usamos la notación de intervalos, que traduce la geometría de la recta al álgebra de conjuntos.

Tipo	Notación de Intervalo	Desigualdad	Significado
Abierto	$(a, b)$	$a < x < b$	Excluye los extremos (bordes)
Cerrado	$[a, b]$	$a \le x \le b$	Incluye los extremos
Semi-abierto	$[a, b)$	$a \le x < b$	Mezcla de ambos

*Nota: El infinito

\infty

siempre va con paréntesis, nunca corchetes, porque no es un número que se pueda "tocar".

Ejercicios: Notación y Operaciones de Intervalos

Ejercicio 2.1: Notación de Conjuntos

Expresa $\{x \mid x \ge -2 \text{ y } x < 5\}$ en notación de intervalo:

Ejercicio 2.2: Intersección de Intervalos

Encuentra la intersección de $(-\infty, 3]$ y $(-1, 10)$ :

Resolución de Desigualdades

Resolver una desigualdad es encontrar la "zona segura" en la recta numérica que satisface una condición. Las reglas son casi idénticas a las ecuaciones, con una excepción crítica.

La Regla de Inversión

Si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes invertir el sentido de la desigualdad.

-2x < 6 \implies x > -3

Desigualdades No Lineales (Método del Cementerio)

Para desigualdades cuadráticas o racionales (ej. $x^2 - x - 6 > 0$ ), no puedes simplemente despejar. Debes analizar los signos en cada intervalo creado por los puntos críticos.

Ejemplo: Resolver x² - x - 6 > 0

1

Factorizamos la expresión para encontrar las raíces.

(x-3)(x+2) > 0

2

Puntos Críticos: Estos valores dividen la recta en 3 regiones.

x = 3, x = -2

3

Definimos las regiones a probar.

\text{Intervalos: } (-\infty, -2), (-2, 3), (3, \infty)

4

Región 1: VERDADERO (Cumple).

\text{Prueba } x=-3: (-)(-) = (+) > 0

5

Región 2: FALSO (No cumple).

\text{Prueba } x=0: (-)(+) = (-) < 0

6

Región 3: VERDADERO (Cumple).

\text{Prueba } x=4: (+)(+) = (+) > 0

7

Solución Final.

S = (-\infty, -2) \cup (3, \infty)

Ejercicios: Desigualdades y Signos

Ejercicio 3.1: Desigualdad Lineal

Resuelve la desigualdad: $4 - 3x \le 16$

Ejercicio 3.2: Signo de Expresión Racional

Determina el signo de $\frac{x}{x-2}$ en el intervalo $(0, 2)$ :

Concepto Clave

"En desigualdades no lineales, la función solo cambia de signo en sus raíces o asíntotas. En los intervalos intermedios, el signo es constante."