1. Números Reales y Desigualdades

Revisión profunda de las propiedades de los números reales y la resolución de desigualdades.

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La Estructura de los Números Reales

El cálculo se construye sobre el conjunto de los números reales (R\mathbb{R}). Para entenderlos, no basta con saber contar; debemos entender su estructura de "muñeca rusa". Cada conjunto expande las limitaciones del anterior.

Clasificación
  • Racionales (Q\mathbb{Q}): Todo número que puede escribirse como p/qp/q. Su expansión decimal termina (ej. 0.5) o se repite (ej. 0.333...).
  • Irracionales (I\mathbb{I}): Números con decimales infinitos y no periódicos. Son los huecos que llenan la recta (ej. π,2,e\pi, \sqrt{2}, e).
La Propiedad de Completitud

Lo que hace especiales a los Reales es que no tienen "agujeros". A diferencia de los racionales (donde hay vacíos donde debería estar 2\sqrt{2}), los reales forman una línea continua perfecta. Esta propiedad es vital para definir el Límite.

Ejercicios de Concepto

Ejercicio 1.1

¿Es el número 0.999...0.999... (periódico) un número racional o irracional? ¿Es igual a 1?

Ver Solución
Es Racional y es exactamente igual a 1. Como tiene expansión decimal periódica, es racional. Matemáticamente 1/3=0.333...1/3 = 0.333..., multiplica por 3 y obtienes 0.999...=10.999... = 1.

Ejercicio 1.2

Si sumamos un número racional y uno irracional (ej. 2+32 + \sqrt{3}), ¿el resultado es racional o irracional?

Ver Solución
Es Irracional. Si fuera racional, podríamos restar el 2 (racional) y obtener 3\sqrt{3} como racional, lo cual es una contradicción.

Concepto Clave

"Todo punto en la recta numérica corresponde a un número real único. No hay huecos."

El Lenguaje de los Intervalos

En cálculo, rara vez nos interesa un punto aislado. Nos interesan los vecindarios, las cercanías y los rangos. Para eso usamos la notación de intervalos, que traduce la geometría de la recta al álgebra de conjuntos.

TipoNotación de IntervaloDesigualdadSignificado
Abierto(a,b)(a, b)a<x<ba < x < bExcluye los extremos (bordes)
Cerrado[a,b][a, b]a≤x≤ba \le x \le bIncluye los extremos
Semi-abierto[a,b)[a, b)a≤x<ba \le x < bMezcla de ambos
*Nota: El infinito ∞\infty siempre va con paréntesis, nunca corchetes, porque no es un número que se pueda "tocar".

Ejercicios de Notación

Ejercicio 2.1

Expresa el conjunto {x∣x≥−2 y x<5}\{x \mid x \ge -2 \text{ y } x < 5\} en notación de intervalo.

Ver Solución
[−2,5)[-2, 5). Usamos corchete en -2 porque es "mayor o igual" y paréntesis en 5 porque es estrictamente "menor".

Ejercicio 2.2

Encuentra la intersección de (−∞,3](-\infty, 3] y (−1,10)(-1, 10).

Ver Solución
(−1,3](-1, 3]. Son los números que están en ambos conjuntos simultáneamente (mayores que -1 Y menores o iguales a 3).

Resolución de Desigualdades

Resolver una desigualdad es encontrar la "zona segura" en la recta numérica que satisface una condición. Las reglas son casi idénticas a las ecuaciones, con una excepción crítica.

La Regla de Inversión

Si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes invertir el sentido de la desigualdad.

−2x<6  ⟹  x>−3-2x < 6 \implies x > -3

Desigualdades No Lineales (Método del Cementerio)

Para desigualdades cuadráticas o racionales (ej. x2−x−6>0x^2 - x - 6 > 0), no puedes simplemente despejar. Debes analizar los signos en cada intervalo creado por los puntos críticos.

Ejemplo: Resolver x² - x - 6 > 0

1

1. Factorizamos la expresión para encontrar las raíces.

(x−3)(x+2)>0(x-3)(x+2) > 0
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2. Puntos Críticos: Estos valores dividen la recta en 3 regiones.

x=3,x=−2x = 3, x = -2
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3. Definimos las regiones a probar.

Intervalos: (−∞,−2),(−2,3),(3,∞)\text{Intervalos: } (-\infty, -2), (-2, 3), (3, \infty)
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4. Región 1: VERDADERO (Cumple).

Prueba x=−3:(−)(−)=(+)>0\text{Prueba } x=-3: (-)(-) = (+) > 0
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5. Región 2: FALSO (No cumple).

Prueba x=0:(−)(+)=(−)<0\text{Prueba } x=0: (-)(+) = (-) < 0
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6. Región 3: VERDADERO (Cumple).

Prueba x=4:(+)(+)=(+)>0\text{Prueba } x=4: (+)(+) = (+) > 0
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7. Solución Final.

S=(−∞,−2)∪(3,∞)S = (-\infty, -2) \cup (3, \infty)

Ejercicios de Desigualdades

Ejercicio 3.1 (Lineal)

Resuelve: 4−3x≤164 - 3x \le 16

Ver Solución
1. Restar 4: −3x≤12-3x \le 12.
2. Dividir por -3 (Invertir signo): x≥−4x \ge -4.
Solución: [−4,∞)[-4, \infty).

Ejercicio 3.2 (Racional)

Determina el signo de la expresión xx−2\frac{x}{x-2} en el intervalo (0,2)(0, 2).

Ver Solución
Tomamos un punto de prueba, ej. x=1x=1.
Numerador (1) es positivo. Denominador (1-2) es negativo.
(+)/(−)=(−)(+) / (-) = (-). La expresión es negativa en ese intervalo.

Concepto Clave

"En desigualdades no lineales, la función solo cambia de signo en sus raíces o asíntotas. En los intervalos intermedios, el signo es constante."