70. Optimización de la función objetivo: método gráfico y a…

¿Qué queremos lograr?

En un problema de optimización, la Función Objetivo es la expresión matemática que representa lo que queremos maximizar (como ganancias) o minimizar (como costos). Se escribe generalmente como $f(x, y) = ax + by$ .

El Teorema de los Vértices

El Teorema Fundamental de la Programación Lineal establece que, si existe una solución óptima en una región factible acotada, esta se encuentra siempre en uno de los vértices (esquinas) del polígono.

Práctica: Evaluación

EJERCICIO 1.1

Evalúa $f(x, y) = 10x + 5y$ en el vértice $(3, 4)$ .

Ver respuesta

$10(3) + 5(4) = 30 + 20 = 50$ .

EJERCICIO 1.2

Si buscas minimizar costos, ¿qué vértice elegirías entre $V_1=100$ y $V_2=85$ ?

Ver respuesta

Elegirías $V_2$ , ya que representa el costo más bajo.

Concepto Clave

"La solución óptima de un problema lineal siempre se localiza en la frontera de la región factible, específicamente en sus vértices."

Simulador de Ganancias

Ajusta los precios y observa cómo cambia el punto óptimo.

Función Objetivo

f(x, y) = 50x + 30y

Precio Producto X ($)

Precio Producto Y ($)

Evaluación de Vértices

(0, 0)

(0, 40)

$1200

(20, 30)

$1900

(35, 0)

$1750

Decisión Óptima

Para maximizar, produce 20 de X y 30 de Y.

Dos Caminos, Un Resultado

Existen dos formas principales de encontrar el punto óptimo una vez definida la región factible:

Método Gráfico

Consiste en trazar las líneas de nivel de la función objetivo y desplazarlas paralelamente hasta tocar el último punto de la región factible.

Método Algebraico

Consiste en calcular las coordenadas de todos los vértices y evaluar la función en cada uno para comparar resultados.

Práctica: Estrategia

EJERCICIO 2.1

¿Qué sucede si la región factible no está acotada (es infinita)?

Ver respuesta

Es posible que la función no tenga un valor máximo, ya que los valores de $x$ o $y$ pueden crecer indefinidamente.

EJERCICIO 2.2

Si dos vértices adyacentes dan el mismo valor máximo, ¿cuántas soluciones hay?

Ver respuesta

Existen infinitas soluciones óptimas: todos los puntos del segmento que une esos dos vértices.

Desafío PISA

La Panadería Artesanal

Una panadería produce dos tipos de pasteles: Chocolate (x) y Vainilla (y). La ganancia por cada pastel de chocolate es de $5 y por el de vainilla es de $3.

Tras analizar sus ingredientes y tiempo de horno, la región factible tiene los siguientes vértices: $A(0,0), B(0, 40), C(20, 30), D(30, 0)$ .

¿Cuál es la ganancia máxima que puede obtener la panadería al día?

Opción A

$120

Opción B

$190

Opción C

$150

Ver Análisis de Producción

Evaluación de la Función Objetivo $f(x,y) = 5x + 3y$ :

Vértice B (0, 40): $5(0) + 3(40) = 120$
Vértice C (20, 30): $5(20) + 3(30) = 100 + 90 = 190$
Vértice D (30, 0): $5(30) + 3(0) = 150$

Respuesta Correcta: B

La ganancia máxima es de $190, produciendo 20 pasteles de chocolate y 30 de vainilla.