70. Optimización de la función objetivo: método gráfico y algebraico

Aprende a encontrar los valores máximos y mínimos de una función lineal dentro de una región factible, utilizando el Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

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Para empezar

¿Cuántas pulseras y cuántos llaveros?

Seguimos con el curso que teje pulseras y llaveros para el paseo (números hipotéticos): 40 metros de hilo, 50 horas, cada pulsera usa 2 metros y 1 hora y cada llavero 1 metro y 2 horas. Ahora sabemos que cada pulsera deja $3.000 de ganancia y cada llavero $2.000.

De todas las producciones posibles, ¿cuál deja más plata? La ganancia es 3x+2y3x + 2y, en miles de pesos. Mira la recta de ganancia deslizarse sobre la región antes de hacer cuentas.

Momento animado

La recta que se desliza

Reproduce: la recta de ganancia sube hasta el último punto de la región que todavía toca.

Región factible y recta 3x + 2y = 0. Toca un solo punto.0510152025303505101520253035ABCD
  • Región factible
  • 3x + 2y = k
  • Producciones con ganancia k
k = 0 mil
Etapas

Etapa 1 de 4 · Ganancia 0

La recta 3x + 2y = k reúne todas las producciones que dan la misma ganancia k, en miles de pesos. Con k = 0 solo pasa por (0; 0): no hacer nada no deja nada.

Ganancia k

0 mil

3x+2y=03x + 2y = 0

Máximo en los vértices

70 mil

en C = (10; 20)

Solo (0; 0) da 0 mil.

  • A (0; 0): 0
  • B (20; 0): 60
  • C (10; 20): 70
  • D (0; 25): 50

¿Qué queremos lograr?

En un problema de optimización, la Función Objetivo es la expresión matemática que representa lo que queremos maximizar (como ganancias) o minimizar (como costos). Se escribe generalmente como f(x,y)=ax+byf(x, y) = ax + by.

El Teorema de los Vértices

El Teorema Fundamental de la Programación Lineal establece que, si existe una solución óptima en una región factible acotada, esta se encuentra siempre en uno de los vértices (esquinas) del polígono.

Práctica: Evaluación
EJERCICIO 1.1
Evalúa f(x,y)=10x+5yf(x, y) = 10x + 5y en el vértice (3,4)(3, 4).
EJERCICIO 1.2
Si buscas minimizar costos, ¿qué vértice elegirías entre V1=100V_1=100 y V2=85V_2=85?

Concepto Clave

"Si un problema de programación lineal tiene solución óptima, siempre hay una en un vértice de la región factible."

Ejemplo resuelto

Las pulseras, por el método de los vértices

La región factible de la lección anterior tiene cuatro vértices. Se evalúa la ganancia en cada uno:

  1. 1

    A = (0, 0)

    3⋅0+2⋅0=03 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0
  2. 2

    B = (20, 0)

    3⋅20+2⋅0=603 \cdot 20 + 2 \cdot 0 = 60
  3. 3

    C = (10, 20)

    La esquina del hilo y el tiempo.
    3⋅10+2⋅20=703 \cdot 10 + 2 \cdot 20 = 70
  4. 4

    D = (0, 25)

    3⋅0+2⋅25=503 \cdot 0 + 2 \cdot 25 = 50
  5. 5

    Comparar

    El mayor valor es 70, en C.
    max⁡=70 en (10,20)\max = 70 \text{ en } (10, 20)

Conviene hacer 10 pulseras y 20 llaveros: dejan $70.000. Es el mismo punto donde la recta del momento animado tocó la región por última vez.

Laboratorio

Simulador de ganancias

Cambia la ganancia por unidad de cada producto y mira qué vértice gana. La recta punteada es la recta de nivel del máximo.

Región factible de vértices A(0, 0), B(0, 40), C(20, 30) y D(35, 0). Máximo en C0510152025303540051015202530354045ABCD

x: unidades del producto X · y: unidades del producto Y

Decisión óptima

Produce 20 de X y 30 de Y (vértice C): ganancia de $1.900.

Función objetivo

f(x,y)=50x+30yf(x, y) = 50x + 30y

$50
$30

Evaluación de los vértices

A (0,0)(0, 0)50·0 + 30·0 = $0
B (0,40)(0, 40)50·0 + 30·40 = $1.200
C (20,30)(20, 30)50·20 + 30·30 = $1.900
D (35,0)(35, 0)50·35 + 30·0 = $1.750

Dos Caminos, Un Resultado

Existen dos formas principales de encontrar el punto óptimo una vez definida la región factible:

Método Gráfico

Consiste en trazar las líneas de nivel de la función objetivo y desplazarlas paralelamente hasta tocar el último punto de la región factible.

Método Algebraico

Consiste en calcular las coordenadas de todos los vértices y evaluar la función en cada uno para comparar resultados.

Práctica: Estrategia
EJERCICIO 2.1
¿Qué sucede si la región factible no está acotada (es infinita)?
EJERCICIO 2.2
Si dos vértices adyacentes dan el mismo valor máximo, ¿cuántas soluciones óptimas existen?
Practica

Cuando cambia la ganancia

Con la misma región de las pulseras: si cambian los precios, la recta gira y el vértice ganador puede cambiar.

EJERCICIO 3.1: UN EMPATE
Si cada llavero dejara 6 mil pesos (ganancia 3x+6y3x + 6y), ¿dónde estaría el máximo en la región de vértices A(0, 0), B(20, 0), C(10, 20) y D(0, 25)?
Desafío tipo PISA

La Panadería Artesanal

Una panadería produce dos tipos de pasteles: Chocolate (x) y Vainilla (y). La ganancia por cada pastel de chocolate es de 5 mil pesos y por el de vainilla, de 3 mil pesos.

Tras analizar sus ingredientes y tiempo de horno, la región factible tiene los siguientes vértices:A(0,0),B(0,40),C(20,30),D(30,0)A(0,0), B(0, 40), C(20, 30), D(30, 0).

¿Cuál es la ganancia máxima que puede obtener la panadería al día?

DECISIÓN DE PRODUCCIÓN ÓPTIMA
¿Cuál es la ganancia máxima que puede obtener la panadería al día evaluando los vértices de la región factible?