69. Sistemas de inecuaciones: la región factible

La Intersección de Mundos

Un sistema de inecuaciones es como tener varias reglas de juego al mismo tiempo. No buscas un número, ni una línea, sino un área. La Región Factible es el conjunto de todos los puntos que cumplen todas las reglas simultáneamente.

El Método del Recorte

Imagina que el plano es una hoja de papel infinita. Cada inecuación es un tijeretazo que descarta una parte del papel. Lo que te queda al final en la mano es la región factible.

Los Vértices Mágicos

Las esquinas de esta región se llaman vértices. Son vitales porque en problemas de negocios (Optimización), ¡la mejor solución siempre vive en uno de ellos!

Concepto Clave

"La solución de un sistema es la intersección visual de todos los semiplanos individuales."

Arquitecto de Regiones

Construye la solución solapando restricciones.

Partimos del plano cartesiano completo. Sin reglas, cualquier punto (x, y) es posible.

Cazando Vértices

Para encontrar las coordenadas exactas de un vértice, debes resolver el sistema de ecuaciones 2x2 formado por las dos rectas que se cruzan en esa esquina.

Práctica: Encuentra la Esquina

EJERCICIO 1: CRUCE SIMPLE

Halla el vértice donde se cruzan las fronteras de:
$y \le 4$ y $2x - y \ge 2$

Ver solución paso a paso

1. Convertimos a ecuaciones: $y = 4$ y $2x - y = 2$ .

2. Sustituimos $y=4$ en la segunda: $2x - 4 = 2$ .

3. Resolvemos: $2x = 6 \rightarrow x = 3$ .

Vértice: (3, 4)

EJERCICIO 2: INTERSECCIÓN EJE

¿En qué punto la recta $3x + 2y = 12$ corta al eje Y ( $x=0$ )?

Ver solución rápida

1. Si corta al eje Y, entonces $x = 0$ .

2. Sustituye: $3(0) + 2y = 12$ .

3. $2y = 12 \rightarrow y = 6$ .

Vértice: (0, 6)

Desafío PISA

La Fábrica de Robots

Una fábrica produce dos tipos de robots: Androides (x) y Drones (y).

• El departamento de electrónica tiene 60 chips disponibles. Cada Androide usa 2 chips y cada Dron usa 1 chip. ( $2x + y \le 60$ )
• El departamento de ensamblaje tiene 40 horas. Cada Androide toma 1 hora y cada Dron 2 horas. ( $x + 2y \le 40$ )

El ingeniero jefe propone fabricar 15 Androides y 10 Drones. ¿Es esta producción factible (posible)?

Chips Necesarios

2(15) + 1(10) = 40 chips

Límite: 60

Horas Necesarias

1(15) + 2(10) = 35 horas

Límite: 40

Verificar Viabilidad

¡Producción Aprobada!

El punto $(15, 10)$ cumple ambas inecuaciones:
1. Chips: $40 \le 60$ (Verdadero)
2. Horas: $35 \le 40$ (Verdadero)
Al estar dentro de la región factible, es posible realizar este plan de producción.