69. Sistemas de inecuaciones: la región factible

Para empezar

Pulseras y llaveros para el paseo

Para reunir plata para el paseo de fin de año, el curso hace pulseras y llaveros tejidos (números hipotéticos). Cada pulsera gasta 2 metros de hilo y 1 hora de trabajo; cada llavero, 1 metro y 2 horas. Esta semana hay 40 metros de hilo y 50 horas entre todos.

¿Cuántas pulseras y cuántos llaveros se pueden hacer? No hay una sola respuesta: hay una región de respuestas posibles. Mira cómo cada límite la recorta.

Momento animado

La región que se recorta

Reproduce: cada restricción es un corte. Mira qué parte del plano sobrevive a todos.

Región factible
Hilo: 2x + y = c
Tiempo: x + 2y = c

Restricciones que lleganNinguna

Etapas

Etapa 1 de 5 · Sin límites

Sin restricciones sirve cualquier pareja de cantidades que no sean negativas: x ≥ 0 y y ≥ 0. La región es todo el primer cuadrante y no tiene fin.

Las restricciones en este momento

$x \ge 0,\ y \ge 0$

La región no tiene fin: sigue hacia arriba y hacia la derecha.

La Intersección de Mundos

Un sistema de inecuaciones son varias reglas al mismo tiempo. No buscas un número ni una línea, sino una zona del plano. La región factible es el conjunto de todos los puntos que cumplen todas las reglas a la vez.

El método del recorte

Imagina que el plano es una hoja de papel sin fin. Cada inecuación es un tijeretazo que descarta un lado de una recta. Lo que queda al final en la mano es la región factible.

Los vértices

Las esquinas de la región se llaman vértices. Son clave porque, cuando un problema de optimización tiene mejor solución, siempre hay una en alguno de ellos (es la lección siguiente).

Concepto Clave

"La región factible es lo que queda después de cortar el plano con todas las restricciones a la vez."

Ejemplo resuelto

La esquina del hilo y el tiempo

El vértice $(10, 20)$ del momento animado está donde se cruzan las dos fronteras. Se encuentra resolviendo el sistema de las rectas:

1
Escribir las fronteras
Se cambia cada ≤ por =.
$\begin{cases} 2x + y = 40 \\ x + 2y = 50 \end{cases}$
2
Reducir
La primera por 2 menos la segunda.
$\begin{aligned} 4x + 2y &= 80 \\ 3x &= 30 \\ x &= 10 \end{aligned}$
3
Despejar y
$y = 40 - 2 \cdot 10 = 20$
4
Probar un punto de adentro
15 pulseras y 5 llaveros: hilo 2 · 15 + 5 = 35 ≤ 40 y tiempo 15 + 2 · 5 = 25 ≤ 50. Cabe.
5
Probar uno de afuera
15 y 15: el hilo da 2 · 15 + 15 = 45, más de 40. No cabe, aunque el tiempo (45 horas) sí alcance.

Cazando Vértices

Para encontrar las coordenadas exactas de un vértice se resuelve el sistema 2 × 2 de las dos rectas que se cruzan en esa esquina.

Práctica: encuentra la esquina

Ejercicio 1: un cruce sencillo

¿Dónde se cruzan las fronteras de

y \le 4

2x - y \ge 2

Ejercicio 2: el corte con el eje y

¿En qué punto la recta

3x + 2y = 12

corta al eje y?

Practica

Adentro, afuera y en el borde

Cuatro ejercicios más. Para saber si un punto está en la región, reemplázalo en todas las restricciones.

Ejercicio 3: ¿cuál no cabe?

Con el hilo (

2x + y \le 40

) y el tiempo (

x + 2y \le 50

) de las pulseras, ¿cuál producción no es factible?

Ejercicio 4: contar esquinas

¿Cuántos vértices tiene la región

x \ge 0,\ y \ge 0,\ x + y \le 6,\ y \le 4

Ejercicio 5: ¿qué lado se sombrea?

Para dibujar

2x - y \ge 2

, ¿qué lado de la recta

2x - y = 2

se sombrea?

Desafío tipo PISA

La fábrica de robots

Una fábrica hace dos tipos de robots: androides (x) y drones (y).

• Electrónica tiene 60 chips: cada androide usa 2 y cada dron 1 ( $2x + y \le 60$ ).
• Ensamble tiene 40 horas: cada androide toma 1 hora y cada dron 2 ( $x + 2y \le 40$ ).

El jefe propone hacer 15 androides y 10 drones. ¿Es una producción factible?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): la decisión del jefe

¿Se pueden hacer 15 androides y 10 drones con los recursos que hay?