68. Inecuaciones lineales con dos incógnitas: el semiplano

Para empezar

El descanso con $12.000

Tienes $12.000 para los descansos de la semana. En la cafetería, la empanada vale $2.000 y el jugo $3.000 (precios hipotéticos). ¿Qué compras te alcanzan?

Con $x$ empanadas y $y$ jugos, gastas $2x + 3y$ miles de pesos, y te alcanza si $2x + 3y \le 12$ . Esta vez no hay una respuesta sino muchas, y todas juntas forman una figura. Mírala aparecer.

Momento animado

El semiplano que se pinta

Reproduce: se prueban todas las compras posibles y las que alcanzan quedan de un solo lado de una recta.

Alcanza: 2x + 3y ≤ 12
No alcanza
Frontera 2x + 3y = 12

Compras probadas0 de 63

Etapas

Etapa 1 de 4 · Probar cada compra

Cada punto es una compra: x empanadas y y jugos. Se calcula 2x + 3y, en miles: si da 12 o menos, alcanza (punto verde); si da más, no (cruz roja).

Compras probadas

0 de 63

alcanzan 0

Última probada

—

todavía ninguna

La Frontera del Cambio

Una inecuación lineal como $ax + by < c$ divide al plano en dos partes. La línea que separa estas partes es la recta frontera, que se obtiene al cambiar el signo de desigualdad por un igual ( $=$ ).

Línea Discontinua

Se usa para $<$ o $>$ . Indica que los puntos sobre la recta no son parte de la solución.

Línea Continua

Se usa para $\leq$ o $\geq$ . Indica que la frontera sí es parte de la solución.

Práctica: Fronteras

EJERCICIO 1.1

¿Cómo debe dibujarse la frontera de

2x - y \geq 4

EJERCICIO 1.2

¿Cuál es la ecuación de la recta frontera para

x + 3y < 9

Concepto Clave

"La recta frontera divide al plano en dos semiplanos; el signo de la desigualdad determina si la frontera se incluye o no."

Ejemplo resuelto

Graficar 2x + 3y ≤ 12

1
La frontera
Se cambia ≤ por =.
$2x + 3y = 12$
2
Dos puntos de la frontera
Con x = 0 sale y = 4; con y = 0 sale x = 6.
$(0, 4) \text{ y } (6, 0)$
3
Cómo se dibuja
Línea continua, porque el signo ≤ incluye la frontera: gastar justo $12.000 sí alcanza.
4
Punto de prueba
El origen no está en la recta.
$2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \le 12$
5
Sombrear
Es cierto, así que se sombrea el lado del origen. Comprobación con otro punto: (3, 3) da 6 + 9 = 15 > 12 y queda del otro lado.

¿Qué lado sombrear?

Para saber cuál de los dos semiplanos contiene las soluciones, usamos un punto de prueba. El más sencillo suele ser el origen $(0, 0)$ .

El Método del Punto de Prueba

Elige un punto que no esté sobre la recta frontera.
Sustituye sus coordenadas en la inecuación original.
Si el resultado es verdadero, sombrea el lado donde está el punto.
Si es falso, sombrea el lado opuesto.

Práctica: Sombreado

EJERCICIO 2.1

Prueba el punto

(0, 0)

x + y > 5

EJERCICIO 2.2

¿Qué punto de prueba NO podrías usar para

y < x

Practica

¿Alcanza o no alcanza?

Con los precios del descanso: empanada $2.000, jugo $3.000 y $12.000 para la semana.

EJERCICIO 3.1: ¿QUÉ COMPRA ALCANZA?

¿Cuál de estas compras cumple

2x + 3y \le 12

(x empanadas, y jugos)?

Desafío tipo PISA

El Organizador de Eventos

Para la fiesta de grado hay un presupuesto de $1.200.000 para alquilar sillas ( $x$ ) y mesas ( $y$ ). Cada silla cuesta $10.000 y cada mesa $40.000 (precios hipotéticos).

En miles de pesos, la restricción es $10x + 40y \leq 1200$ . Si el organizador decide alquilar 80 sillas y 15 mesas, ¿está esta combinación dentro del presupuesto?

DECISIÓN DEL ORGANIZADOR

¿Está esta combinación de 80 sillas y 15 mesas dentro del presupuesto de $1.200.000?