68. Inecuaciones lineales con dos incógnitas: el semiplano

La Frontera del Cambio

Una inecuación lineal como $ax + by < c$ divide al plano en dos partes. La línea que separa estas partes es la recta frontera, que se obtiene al cambiar el signo de desigualdad por un igual ( $=$ ).

Línea Discontinua

Se usa para $<$ o $>$ . Indica que los puntos sobre la recta no son parte de la solución.

Línea Continua

Se usa para $\leq$ o $\geq$ . Indica que la frontera sí es parte de la solución.

Práctica: Fronteras

EJERCICIO 1.1

¿Cómo debe dibujarse la frontera de $2x - y \geq 4$ ?

Ver respuesta

Debe ser una línea continua debido al signo "mayor o igual".

EJERCICIO 1.2

¿Cuál es la ecuación de la recta frontera para $x + 3y < 9$ ?

Ver respuesta

La ecuación es $x + 3y = 9$ .

Concepto Clave

"La recta frontera divide al plano en dos semiplanos; el signo de la desigualdad determina si la frontera se incluye o no."

Laboratorio de Semiplanos

Visualiza cómo la desigualdad "pinta" el plano cartesiano.

FronteraDiscontinua

RegiónSuperior

Puntos arriba de la recta, sin incluir la recta.

Plano Cartesiano

¿Qué lado sombrear?

Para saber cuál de los dos semiplanos contiene las soluciones, usamos un punto de prueba. El más sencillo suele ser el origen $(0, 0)$ .

El Método del Punto de Prueba

Elige un punto que no esté sobre la recta frontera.
Sustituye sus coordenadas en la inecuación original.
Si el resultado es verdadero, sombrea el lado donde está el punto.
Si es falso, sombrea el lado opuesto.

Práctica: Sombreado

EJERCICIO 2.1

Prueba el punto $(0, 0)$ en $x + y > 5$ .

Ver resultado

$0 + 0 > 5 \implies 0 > 5$ . Es Falso. Se sombrea el lado que no contiene al origen.

EJERCICIO 2.2

¿Qué punto de prueba NO podrías usar para $y < x$ ?

Ver respuesta

No puedes usar ningún punto donde $x = y$ (como $(1, 1)$ o $(0, 0)$ ), porque esos puntos están sobre la frontera.

Desafío PISA

El Organizador de Eventos

Un salón de eventos tiene un presupuesto máximo de $1200 para alquilar sillas ( $x$ ) y mesas ( $y$ ). Cada silla cuesta $10 y cada mesa $40.

La inecuación que representa esta restricción es $10x + 40y \leq 1200$ . Si el organizador decide alquilar 80 sillas y 15 mesas, ¿está esta combinación dentro del presupuesto?

Opción A

Sí, sobra dinero.

Opción B

No, excede el presupuesto.

Opción C

Exactamente el presupuesto.

Verificar Presupuesto

Cálculo de Costo:

10(80) + 40(15) = 800 + 600 = 1400

Comparamos con la inecuación: $1400 \leq 1200$ . Esto es Falso.

Respuesta Correcta: B

El costo total es de $1400, lo cual excede el límite de $1200. El punto $(80, 15)$ está fuera del semiplano de solución.