63. Cálculo del rango de una matriz por menores

Para empezar

¿Cuánta información hay de verdad?

En una planilla de notas, una columna tiene la nota sobre 5 y otra la misma nota sobre 100. Son dos columnas, pero la segunda es la primera por 20: no dice nada nuevo.

El rango de una matriz cuenta cuántas filas (o columnas) traen información distinta de verdad. En el plano tiene un dibujo: cuántas direcciones distintas marcan las columnas. Míralo bajar.

Momento animado

El rango que baja

Reproduce: el rango cuenta cuántas direcciones distintas dan las columnas. Míralo bajar de 2 a 1 y a 0.

Primera columna
Segunda columna

Movimiento de las columnasrango 2

Etapas

Etapa 1 de 5 · Dos direcciones

Las columnas (3, 1) y (1, 2) apuntan a lados distintos: combinándolas se llega a cualquier punto del plano, y el cuadriculado lo cubre todo. El menor de orden 2 (el determinante) vale 5 ≠ 0: rango 2.

Rango

todo el plano

Menor de orden 2

el determinante

La matriz: $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

El Concepto de Rango

El rango de una matriz es el número máximo de filas (o columnas) que son linealmente independientes. En términos prácticos, nos dice cuánta información "real" hay en la matriz sin repeticiones o redundancias.

Definición por Menores

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.

Un menor de orden k es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de $k \times k$ que podamos formar eliminando filas y columnas.

Práctica: Identificación de Menores

Ejercicio 1.1: Menores de una Matriz Rectangular

¿Cuántos menores de orden 2 se pueden formar en una matriz rectangular de orden $2 \times 3$ ?

Ejercicio 1.2: Rango y Determinante No Nulo

Si una matriz cuadrada $A$ de orden $3 \times 3$ verifica que $\det(A) \neq 0$ , ¿cuál es su rango?

Concepto Clave

"El rango es el tamaño de la submatriz cuadrada más grande que tiene un determinante distinto de cero."

Explorador de Menores

Haz clic en los botones para resaltar submatrices cuadradas (menores).

Cómo calcular el Rango

Para encontrar el rango de forma eficiente, seguimos una estrategia de escalonamiento de menores:

Busca un elemento distinto de cero. Si existe, Rango ≥ 1.
Busca un menor de orden 2 que sea $\neq 0$ . Si lo hallas, Rango ≥ 2.
Intenta "orlar" (expandir) ese menor a uno de orden 3. Si todos los posibles menores de orden 3 son cero, el Rango es 2.

Práctica: Cálculo de Rango

Ejercicio 2.1: Rango de una Matriz Cuadrada 2 × 2

Halla el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ mediante el estudio de sus menores.

Ejercicio 2.2: Cota Superior del Rango

¿Cuál es el rango máximo posible que puede alcanzar una matriz rectangular de orden $3 \times 5$ ?

Ejemplo resuelto

El rango de una matriz 3 × 3 por menores

Busquemos el rango de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , del menor más grande al más pequeño.

1
El menor de orden 3
La segunda fila es el doble de la primera, así que el determinante es 0. El rango no es 3.
$\det(A) = 0$
2
Un menor de orden 2
Filas 1 y 3, columnas 1 y 2.
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2$
3
Concluir
Hay un menor de orden 2 distinto de 0 y el de orden 3 es 0: el rango es 2.
$\text{rg}(A) = 2$

Tiene sentido: la fila 2 repite la fila 1, así que solo hay dos filas con información distinta.

Desafío tipo PISA

Compresión de Datos Digitales y Rango

En computación y ciencia de datos, el rango de una matriz de mediciones indica cuánta información verdaderamente independiente contiene. Una matriz de bajo rango es altamente redundante y puede comprimirse masivamente para su transmisión eficiente.

Un sensor meteorológico transmite tres lecturas en dos momentos distintos, representadas en la matriz $S$ : $S = \begin{pmatrix} 20 & 20 & 20 \\ 22 & 22 & 22 \end{pmatrix}$ ¿Qué rango tiene esta matriz y qué conclusión técnica describe mejor la eficiencia de la transmisión?

Problema tipo PISA: Análisis de Redundancia Matricial

Determina el rango de la matriz del sensor $S$ y su significado computacional: