62. Propiedades elementales de los determinantes

Para empezar

Empujar una pila de hojas

Pon una pila de hojas del cuaderno sobre la mesa y empújala de lado: se inclina, pero sigue siendo el mismo papel, con la misma base y la misma altura. Con los determinantes pasa algo parecido.

Como el determinante mide un área (o un volumen), hay cambios en las filas y columnas que no lo alteran, otros que lo multiplican y uno que le cambia el signo. Míralos antes de las reglas.

Momento animado

Tres propiedades que se ven

Reproduce: inclinar, estirar y cambiar el orden de las columnas. Mira qué le pasa al área en cada caso.

u, primera columna
v, segunda columna
Altura

Transformacióndet = 4

Etapas

Etapa 1 de 5 · El paralelogramo

Las columnas (2, 0) y (1, 2) forman un paralelogramo de base 2 y altura 2. det = 2 · 2 − 1 · 0 = 4.

Determinante

2 \cdot 2 - 1 \cdot 0

Área

base · altura

Columnas: $u = (2;\ 0),\ v = (1;\ 2)$

El Determinante Nulo

Identificar cuándo un determinante es cero es vital, pues nos indica que la matriz no tiene inversa. Hay tres casos que se reconocen a simple vista:

Fila de Ceros

Si todos los elementos de una fila o columna son $0$ .

Filas Iguales

Si dos filas o columnas son idénticas.

Proporcionalidad

Si una fila es múltiplo de otra (ej. una es el doble de la otra).

Práctica: Detección de Ceros

Fila Nula Inmediata

EJERCICIO 1.1

Calcula por inspección el determinante: $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$

Filas Proporcionales

EJERCICIO 1.2

¿Por qué el determinante $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix}$ es igual a cero?

Concepto Clave

"Un determinante igual a cero indica dependencia lineal entre las filas o columnas de la matriz."

Laboratorio de Propiedades

Visualiza el impacto de las transformaciones en el determinante.

Intercambio de Filas

Si intercambias dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo.

|A| = 5

|A'| = -5

R_1 \leftrightarrow R_2 \Rightarrow \det(A') = -\det(A)

Traspuestas y Productos

Existen dos propiedades fundamentales que conectan los determinantes con las operaciones matriciales básicas:

Determinante de la Traspuesta

\det(A^T) = \det(A)

El determinante no cambia si intercambiamos todas las filas por columnas. Lo que es válido para filas, es válido para columnas.

Determinante del Producto

\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)

El determinante de un producto es el producto de los determinantes. ¡Esta propiedad ahorra muchísimo tiempo!

Práctica: Operaciones

Determinante del Producto

EJERCICIO 2.1

Si $\det(A) = 3$ y $\det(B) = -2$ , ¿cuál es el valor de $\det(AB)$ ?

Determinante y Multiplicación Escalar

EJERCICIO 2.2

Si $A$ es una matriz de dimensión $2 \times 2$ y $\det(A) = 5$ , ¿cuál es el valor de $\det(2A)$ ?

Ejemplo resuelto

Un determinante 3 × 3 con las propiedades

Calculemos $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ sin Sarrus, escalonando: restar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante.

1
R₂ − 2R₁ y R₃ − R₁
No cambian el determinante.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
2
R₃ − R₂
Tampoco lo cambia. La matriz queda triangular.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
3
Multiplicar la diagonal
En una matriz triangular, el determinante es el producto de la diagonal.
$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
4
Comprobar con Sarrus
Diagonales que bajan: 25 + 14 + 18 = 57. Diagonales que suben: 15 + 21 + 20 = 56.
$57 - 56 = 1$

Desafío tipo PISA

Escalamiento en Gráficos 3D

En gráficos 3D, el determinante de una matriz de transformación lineal representa el factor de escala sobre el volumen de los modelos.

Si un cubo tridimensional tiene un volumen inicial de 10 unidades³ y se le aplica una transformación $T$ con $\det(T) = 3$ , seguida de una transformación $S$ con $\det(S) = 0{,}5$ :

Cálculo del Volumen Acumulado

¿Cuál será el volumen final del objeto tras aplicar consecutivamente ambas transformaciones lineales?