61. Concepto de determinante de orden 2 y 3 (Regla de Sarrus)

Aprende a calcular el valor escalar que define las propiedades de una matriz, utilizando métodos directos y la famosa Regla de Sarrus.

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Determinantes 2x2: El Producto Cruzado

El determinante de una matriz de orden 2 es la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de la diagonal secundaria.

∣A∣=∣abcd∣=ad−bc|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
Diagonal Principal (+)
Diagonal Secundaria (-)
Práctica: Orden 2

EJERCICIO 1.1

Calcula el determinante de (3425)\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}

Ver solución

(3⋅5)−(4⋅2)=15−8=7(3 \cdot 5) - (4 \cdot 2) = 15 - 8 = 7.

EJERCICIO 1.2

Halla xx si ∣x234∣=10\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 10

Ver solución

4x−(2⋅3)=104x - (2 \cdot 3) = 10

4x−6=10⇒4x=16⇒x=44x - 6 = 10 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4.

Concepto Clave

"El determinante de una matriz 2x2 representa el área del paralelogramo formado por sus vectores columna."

Orden 3: La Regla de Sarrus

Para matrices 3×33 \times 3, la Regla de Sarrus es el método más visual. Consiste en sumar los productos de las diagonales principales y restar los de las secundarias.

El Truco de las Filas

Repetir las dos primeras filas debajo de la matriz original te permite trazar 3 diagonales completas en cada dirección sin perderte.

Práctica: Sarrus

EJERCICIO 2.1

¿Qué sucede con el determinante si una fila completa es de ceros?

Ver respuesta

El determinante será 0, ya que todos los productos de las diagonales incluirán un cero.

EJERCICIO 2.2

Calcula ∣I∣|I| para una matriz identidad de 3×33 \times 3.

Ver respuesta

En una matriz identidad, solo la diagonal principal tiene valores (1). El determinante es 1⋅1⋅1=11 \cdot 1 \cdot 1 = 1.

Simulador de Sarrus

Domina el flujo de las diagonales paso a paso.

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Matriz Original

Para aplicar Sarrus, visualizamos la matriz 3x3. El determinante se denota con barras verticales |A|.

∣A∣|A|
Desafío PISA

Topografía y Áreas

Un topógrafo necesita calcular el área de un terreno triangular cuyos vértices en el plano cartesiano son A(1,2)A(1, 2), B(4,5)B(4, 5) y C(2,8)C(2, 8).

El área de un triángulo con vértices (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) se puede calcular con la fórmula:Aˊrea=12∣det⁡(x1y11x2y21x3y31)∣\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|¿Cuál es el área del terreno en unidades cuadradas?

Opción A

7.5 u²

Opción B

9.0 u²

Opción C

15.0 u²

Ver Cálculo Topográfico

Paso a Paso:

  1. Montamos el determinante: det⁡(121451281)\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 2 & 8 & 1 \end{pmatrix}.
  2. Aplicamos Sarrus: (5+4+32)−(10+8+8)=41−26=15(5+4+32) - (10+8+8) = 41 - 26 = 15.
  3. Aplicamos la fórmula del área: 12∣15∣=7.5\frac{1}{2} |15| = 7.5.

Respuesta Correcta: A

El área del terreno es de 7.5 unidades cuadradas.