61. Concepto de determinante de orden 2 y 3 (Regla de Sarrus)

Aprende a calcular el valor escalar que define las propiedades de una matriz, utilizando métodos directos y la famosa Regla de Sarrus.

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Para empezar

¿Cuántos cuadritos mide?

En tu cuaderno cuadriculado, dibuja un paralelogramo con un vértice en un cruce de líneas y lados que van 3 cuadritos a la derecha y 1 arriba, y 1 a la derecha y 2 arriba. ¿Cuántos cuadritos mide? Contar es difícil, porque los bordes cortan los cuadritos por la mitad.

Hay un número que lo dice de una: el determinante de la matriz que tiene esos lados como columnas. Míralo crecer, encogerse y llegar a 0 antes de ver la fórmula.

Momento animado

El área que se aplana

Reproduce y mira el área del paralelogramo: el determinante la mide, y se vuelve 0 justo cuando la figura se aplasta.

Paralelogramo de lados u = (1; 0) y v = (0; 1). Determinante 1, área 1.−2−10123456−2−101234uv
  • u, primera columna
  • v, segunda columna
  • Cuadrado de área 1
det = 1
Etapas

Etapa 1 de 5 · El cuadrado se estira

La matriz mueve todo el plano. El cuadrado de lado 1 se estira hasta un paralelogramo cuyos lados son las columnas de la matriz: u = (3; 1) y v = (1; 2).

Determinante

1

1⋅1−0⋅01 \cdot 1 - 0 \cdot 0

Área del paralelogramo

1

el valor absoluto

La matriz (sus columnas son u y v)

(1001),u=(1; 0), v=(0; 1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad u = (1;\ 0),\ v = (0;\ 1)

Determinantes 2 × 2: Multiplicar en Cruz

El determinante de una matriz de orden 2 es la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de la diagonal secundaria.

∣A∣=∣abcd∣=ad−bc|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
Diagonal Principal (+)
Diagonal Secundaria (-)
Práctica: Orden 2
Cálculo Directo 2 × 2

EJERCICIO 1.1

Calcula el determinante de la matriz: (3425)\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}

Ecuación con Determinante

EJERCICIO 1.2

Halla el valor de xx para que se cumpla: ∣x234∣=10\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 10

Concepto Clave

"El valor absoluto del determinante de una matriz 2 × 2 es el área del paralelogramo formado por sus vectores columna."

Ejemplo resuelto

Contar los cuadritos sin contarlos

Comprobemos con geometría que el paralelogramo de lados (3,1)(3, 1) y (1,2)(1, 2) mide 5. Sus vértices son (0,0)(0, 0), (3,1)(3, 1), (4,3)(4, 3) y (1,2)(1, 2).

  1. 1

    La caja que lo encierra

    Va de 0 a 4 en x y de 0 a 3 en y.
    4⋅3=124 \cdot 3 = 12
  2. 2

    Dos triángulos largos

    Abajo y arriba: base 3, altura 1.
    2⋅3⋅12=32 \cdot \tfrac{3 \cdot 1}{2} = 3
  3. 3

    Dos triángulos cortos

    A la izquierda y a la derecha: base 1, altura 2.
    2⋅1⋅22=22 \cdot \tfrac{1 \cdot 2}{2} = 2
  4. 4

    Dos cuadritos en las esquinas

    Abajo a la derecha y arriba a la izquierda.
    2⋅1=22 \cdot 1 = 2
  5. 5

    Lo que queda

    Y con el determinante: 3 · 2 − 1 · 1 = 5. El mismo número.
    12−3−2−2=512 - 3 - 2 - 2 = 5

La resta de la caja da lo mismo que ad−bcad - bc. El determinante hace esa cuenta para cualquier paralelogramo.

Orden 3: La Regla de Sarrus

Para matrices 3×33 \times 3, la Regla de Sarrus es el método más visual. Consiste en sumar los productos de las diagonales principales y restar los de las secundarias.

El Truco de las Filas

Repetir las dos primeras filas debajo de la matriz original te permite trazar 3 diagonales completas en cada dirección sin perderte.

Práctica: Sarrus
Fila Nula y Determinante

EJERCICIO 2.1

¿Qué valor tiene el determinante de una matriz 3×33 \times 3 si una fila completa está compuesta por ceros?

Determinante de la Identidad

EJERCICIO 2.2

Calcula el determinante ∣I∣|I| de la matriz identidad de orden 3×33 \times 3.

Simulador de Sarrus

Domina el flujo de las diagonales paso a paso.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
Matriz Original

Para aplicar Sarrus, visualizamos la matriz 3 × 3. El determinante se denota con barras verticales |A|.

∣A∣|A|
Practica

Áreas que se aplanan

Dos ejercicios más, con la idea del momento animado: el determinante como área.

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): aplanar el paralelogramo

¿Para qué valor de kk el paralelogramo de lados (2,1)(2, 1) y (k,3)(k, 3) se aplana, es decir, tiene área 0?

Desafío tipo PISA

Topografía y Áreas

Un topógrafo calcula el área de un terreno triangular con vértices A(1,2)A(1, 2), B(4,5)B(4, 5) y C(2,8)C(2, 8) mediante la fórmula matricial:

Aˊrea=12∣det⁡(121451281)∣\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 2 & 8 & 1 \end{pmatrix} \right|
Determinación del Área del Terreno

Aplicando la regla de Sarrus al determinante, ¿cuál es el área exacta del terreno en unidades cuadradas?