60. Potencias de matrices y matrices conmutables

Potencias: El Requisito de la Cuadratura

Para que una matriz pueda elevarse a una potencia, debe ser cuadrada. ¿Por qué? Porque para calcular $A^2 = A \cdot A$ , el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda. Solo en las matrices $n \times n$ esto se cumple siempre.

Definición Recursiva

$A^0 = I$ (Matriz Identidad).
$A^1 = A$ .
$A^n = A^{n-1} \cdot A$ .

Práctica: Potencias

EJERCICIO 1.1

Si $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , ¿cuánto es $A^2$ ?

Ver respuesta

En matrices diagonales, solo elevamos los elementos de la diagonal: $\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ .

EJERCICIO 1.2

¿Se puede calcular $A^3$ si $A$ es de $2 \times 3$ ?

Ver respuesta

No. Solo las matrices cuadradas pueden elevarse a potencias.

Concepto Clave

"Calcular potencias elevadas suele requerir encontrar un patrón inductivo para evitar multiplicaciones infinitas."

Detector de Patrones

Calcula potencias de $A^n$ y observa el comportamiento.

Matriz Base A

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Exponente:2

Resultado

A^{2}

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Nota: Algunas matrices siguen patrones lineales, otras crecen exponencialmente o se anulan.

Matrices Conmutables: La Excepción

Sabemos que, por regla general, $AB \neq BA$ . Sin embargo, cuando ocurre que AB = BA, decimos que las matrices $A$ y $B$ son conmutables.

Casos que SI conmutan:

Una matriz $A$ con su propia potencia $A^n$ .
Cualquier matriz $A$ con la Identidad $I$ .
Una matriz $A$ con su inversa $A^{-1}$ .
Dos matrices diagonales de la misma dimensión.

Importancia

Si dos matrices conmutan, podemos aplicar identidades notables como el Binomio de Newton: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ . Si no conmutan, esto es falso.

Práctica: Conmutatividad

EJERCICIO 2.1

¿Son conmutables $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ?

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Sí. Porque $A$ es la matriz identidad $I$ , y la identidad conmuta con cualquier matriz.

EJERCICIO 2.2

Si $AB = BA$ , ¿a qué es igual $(A-B)(A+B)$ ?

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Es igual a $A^2 - B^2$ . Esta identidad solo es válida si las matrices conmutan.

Desafío PISA

Propagación en Redes Sociales

En un modelo simplificado de red social, la matriz $A$ representa las conexiones directas entre 3 usuarios. Si el elemento $a_{ij} = 1$ , el usuario $i$ sigue al usuario $j$ .

Se sabe que la matriz $A^2$ representa el número de caminos de longitud 2 (seguidores de seguidores). Si la matriz de conexiones es:
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
¿Qué representa la matriz $A^3$ en este sistema?

Opción A

Nadie sigue a nadie (Matriz Nula).

Opción B

Todos se siguen a sí mismos (Matriz Identidad).

Opción C

Las conexiones se invierten (Matriz Traspuesta).

Ver Análisis de Red

Cálculo de Potencias:

Esta es una matriz de permutación cíclica.

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Al llegar a la tercera potencia, el ciclo se cierra.

Respuesta Correcta: B

En una red donde 1 sigue a 2, 2 sigue a 3, y 3 sigue a 1, después de 3 pasos ("el seguidor del seguidor del seguidor"), vuelves al usuario original. Esto se representa con la Matriz Identidad.