60. Potencias de matrices y matrices conmutables

Para empezar

Girar el celular cuatro veces

Gira el celular un cuarto de vuelta, y otro, y otro, y otro: después de cuatro giros queda exactamente como empezó. Repetir la misma acción varias veces es elevar a una potencia, y con matrices se ve muy bien.

La matriz $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ gira el plano un cuarto de vuelta. ¿Qué hacen $R^2$ , $R^3$ y $R^4$ ? Míralo antes de multiplicar.

Momento animado

Un giro que se repite

Reproduce: cada potencia de R es un cuarto de vuelta más. Mira cuándo vuelve la figura a su lugar.

La figura girada
Donde empezó
La punta de arriba

Vueltas0°

Etapas

Etapa 1 de 5 · La figura

Una «F» en el plano. La matriz R = [[0, −1], [1, 0]] gira todo el plano un cuarto de vuelta, en contra de las manecillas del reloj.

Giro

0°

0 cuartos de vuelta

La punta (0, 3) va a

(0, 3)

el punto rojo

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Potencias: El Requisito de la Cuadratura

Para que una matriz pueda elevarse a una potencia, debe ser cuadrada. ¿Por qué? Porque para calcular $A^2 = A \cdot A$ , el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda. Solo en las matrices $n \times n$ esto se cumple siempre.

Definición Recursiva

$A^0 = I$ (Matriz Identidad).
$A^1 = A$ .
$A^n = A^{n-1} \cdot A$ .

Práctica: Potencias

Potencia de Matriz Diagonal

EJERCICIO 1.1

Si $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , ¿cuál es el valor de $A^2$ ?

Condición de Cuadratura

EJERCICIO 1.2

¿Es posible calcular $A^3$ si $A$ es una matriz rectangular de orden $2 \times 3$ ?

Concepto Clave

"Calcular potencias elevadas suele requerir encontrar un patrón inductivo para no hacer una multiplicación tras otra."

Detector de Patrones

Calcula potencias de $A^n$ y observa el comportamiento.

Matriz base A

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Exponenten = 2

Resultado

A^{2}

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

A^{2} = A^{1} \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 + 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Cada vez que multiplicas por A, la esquina de arriba a la derecha suma 1: por eso $A^n$ tiene una n ahí.

Nota: Algunas matrices siguen patrones lineales, otras crecen exponencialmente o se anulan.

Matrices Conmutables: La Excepción

Sabemos que, por regla general, $AB \neq BA$ . Sin embargo, cuando ocurre que AB = BA, decimos que las matrices $A$ y $B$ son conmutables.

Casos que SÍ conmutan:

Una matriz $A$ con su propia potencia $A^n$ .
Cualquier matriz $A$ con la Identidad $I$ .
Una matriz $A$ con su inversa $A^{-1}$ .
Dos matrices diagonales de la misma dimensión.

Importancia

Si dos matrices conmutan, podemos aplicar identidades notables como el Binomio de Newton: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ . Si no conmutan, esto es falso.

Práctica: Conmutatividad

Conmutación con la Identidad

EJERCICIO 2.1

¿Son conmutables las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ?

Productos Notables Matriciales

EJERCICIO 2.2

Si dos matrices conmutan ( $AB = BA$ ), ¿a qué expresión simplificada equivale $(A - B)(A + B)$ ?

Ejemplo resuelto

R al cuadrado y R a la 2.026

1
R² es R por R
Fila por columna, como en cualquier producto.
$R^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
2
Las cuatro casillas
0 · 0 + (−1) · 1 = −1; 0 · (−1) + (−1) · 0 = 0; 1 · 0 + 0 · 1 = 0; 1 · (−1) + 0 · 0 = −1.
$R^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$
3
R⁴ es R² por R²
(−I) · (−I) = I.
$R^4 = I$
4
Una potencia grande
2.026 = 4 · 506 + 2: son 506 vueltas completas y dos cuartos más.
$\begin{aligned} R^{2026} &= (R^4)^{506} \cdot R^2 \\ &= R^2 = -I \end{aligned}$

Desafío tipo PISA

Propagación en Redes Sociales

En un modelo de red social con 3 usuarios, la matriz $A$ representa las conexiones directas:

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Ciclos y Potencias en Grafos

Se sabe que $A^k$ indica el número de caminos dirigidos de longitud $k$ . ¿Qué representa la matriz $A^3$ en esta red cíclica?