59. Álgebra de matrices II: producto de matrices y sus prop…

Para empezar

Dos pedidos, dos tiendas

Ana pide 2 empanadas, 1 jugo y 3 pandebonos; Beto pide 1 empanada y 2 jugos. Pueden comprar en la tienda escolar o en la panadería de enfrente, que cobran distinto (precios hipotéticos, en miles de pesos):

Tienda escolar: empanada 2, jugo 3, pandebono 1.
Panadería: empanada 3, jugo 2, pandebono 1.

¿Cuánto paga cada uno en cada tienda? Son cuatro cuentas, y todas tienen la misma forma: cantidades por precios, sumadas. Esa forma es el producto de matrices. Míralo antes de ver la regla.

Momento animado

Fila por columna

Reproduce y mira de dónde sale cada casilla del producto: una fila de A acostada sobre una columna de B.

A: filas Ana y Beto; columnas empanadas, jugos y pandebonos. B: una fila por producto y una columna por tienda (escolar y panadería).

Casilla que se calculaFila 1, columna 1

Etapas

Etapa 1 de 5 · Ana en la tienda escolar

Cada casilla de C sale de una fila de A y una columna de B. La fila de Ana se acuesta junto a la columna de la tienda escolar: se multiplican las parejas y se suman.

Ana en la tienda escolar (fila 1 de A por columna 1 de B)

La fila se acerca a la columna…

Casillas calculadas: 0 de 4

¿Cuándo se pueden multiplicar?

A diferencia de la suma, no se pide que las dos matrices tengan la misma dimensión. Para multiplicar $A \cdot B$ , el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B: cada número de una fila de A necesita su pareja en la columna de B.

Matriz A

m \times n

Matriz B

n \times p

Los números de adentro ( $n$ ) deben coincidir. El resultado es una matriz $m \times p$ (los de afuera). En los pedidos: A es 2 × 3, B es 3 × 2 y C es 2 × 2.

Práctica: dimensiones

Ejercicio 1: la dimensión del producto

Si $A$ es de orden $3 \times 2$ y $B$ es de orden $2 \times 5$ , ¿qué dimensión tiene $AB$ ?

Ejercicio 2: ¿y al revés?

Con $A_{3 \times 2}$ y $B_{2 \times 5}$ , ¿se puede calcular $BA$ ?

Ejemplo resuelto

Un producto 2 × 2, en los dos órdenes

Con $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ :

1
Fila 1 de A por columna 1 de B
$2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23$
2
Fila 1 de A por columna 2 de B
$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8$
3
Fila 2 de A por cada columna de B
$\begin{aligned} 1 \cdot 4 + 0 \cdot 5 &= 4 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 &= 1 \end{aligned}$
4
Escribir AB
$AB = \begin{pmatrix} 23 & 8 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$
5
Ahora al revés
Fila 1 de B por columna 1 de A: 4 · 2 + 1 · 1 = 9, y así con las demás.
$BA = \begin{pmatrix} 9 & 12 \\ 12 & 15 \end{pmatrix}$

AB y BA no son iguales. Con números, 2 · 3 = 3 · 2; con matrices, el orden importa.

Propiedades: Rompiendo la Intuición

El producto de matrices se comporta distinto al de los números. Lo más importante: no es conmutativo.

No conmutatividad

AB \neq BA

En general, cambiar el orden cambia el resultado o hace que el producto no exista. En los pedidos, BA sería 3 × 3 y no significaría nada.

Elemento neutro

AI = IA = A

La matriz identidad $I$ hace el papel del número 1.

Práctica: propiedades

Ejercicio 3: la propiedad distributiva

¿Es cierta para matrices la igualdad $(A + B)C = AC + BC$ ?

Ejercicio 4: producto igual a cero

Si $AB = 0$ (la matriz nula), ¿tiene que ser $A = 0$ o $B = 0$ ?

Practica

Casillas y costos

Dos ejercicios más. Antes de escoger, di qué fila y qué columna se multiplican.

Ejercicio 5: una sola casilla

Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ , ¿cuánto vale la casilla de la fila 2 y la columna 1 de $AB$ ?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): el costo de una silla

Un taller hace dos modelos de silla con madera, tela y metal. M dice cuántas unidades de cada material lleva cada silla (filas: modelos) y C cuánto cuesta cada unidad, en miles de pesos, con dos proveedores (columnas). Valores hipotéticos.

M = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 5 & 4 \\ 20 & 25 \end{pmatrix}

¿Cuánto cuesta en materiales una silla del modelo 1 con el proveedor 1?