59. Álgebra de matrices II: producto de matrices y sus prop…

¿Cuándo se pueden multiplicar?

A diferencia de la suma, no basta con que las matrices sean iguales. Para multiplicar $A \times B$ , el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.

Matriz A

m \times n

Matriz B

n \times p

Los números internos ( $n$ ) deben coincidir. El resultado será una matriz de dimensión $m \times p$ (los números externos).

Práctica: Dimensiones

EJERCICIO 1.1

Si $A$ es $3 \times 2$ y $B$ es $2 \times 5$ , ¿cuál es la dimensión de $AB$ ?

Ver respuesta

Los internos (2) coinciden. El resultado es $3 \times 5$ .

EJERCICIO 1.2

¿Se puede calcular $B \times A$ con las dimensiones del ejercicio anterior?

Ver respuesta

No. $B(2 \times 5)$ y $A(3 \times 2)$ . Los internos (5 y 3) no coinciden.

Coreografía del Producto

Observa cómo se fusionan las filas y columnas.

Matriz A

Operación

A \times B

Matriz B

Preparación

Para multiplicar, tomamos las FILAS de la primera y las COLUMNAS de la segunda.

Propiedades: Rompiendo la Intuición

El producto de matrices se comporta de forma muy distinta a los números reales. La propiedad más importante es que NO es conmutativo.

No Conmutatividad

AB \neq BA

En general, cambiar el orden de las matrices cambia el resultado o incluso hace que el producto sea imposible.

Elemento Neutro

AI = IA = A

La matriz identidad $I$ actúa como el número 1 en la multiplicación.

Práctica: Propiedades

EJERCICIO 2.1

¿Es cierto que $(A+B)C = AC + BC$ ?

Ver respuesta

Sí. El producto es distributivo respecto a la suma, siempre que se respete el orden (izquierda/derecha).

EJERCICIO 2.2

Si $AB = 0$ , ¿significa que $A=0$ o $B=0$ ?

Ver respuesta

No necesariamente. En matrices, dos matrices distintas de cero pueden dar como producto la matriz nula.

Desafío PISA

Costos de Producción Industrial

Una fábrica produce dos modelos de sillas ( $S1, S2$ ) usando tres materiales: Madera, Tela y Metal. La matriz $M$ muestra las unidades de material por silla, y la matriz $C$ muestra el costo por unidad de material en dos proveedores distintos.

$M = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 5 & 4 \\ 20 & 25 \end{pmatrix}$
¿Cuál es el costo total de producir una silla del Modelo 1 usando el Proveedor 1?

Opción A

$70

Opción B

$80

Opción C

$95

Ver Análisis de Costos

Cálculo del elemento (1,1):

Multiplicamos la Fila 1 de M (Modelo 1) por la Columna 1 de C (Proveedor 1):

(5 \cdot 10) + (2 \cdot 5) + (1 \cdot 20) = 50 + 10 + 20 = 80

Respuesta Correcta: B

El costo total para el Modelo 1 con el Proveedor 1 es de $80.