58. Álgebra de matrices I: suma y producto por un escalar

Para empezar

Las ventas de la cafetería

La cafetería del colegio anota lo que vende cada jornada en una tabla: filas para la mañana y la tarde, columnas para empanadas, jugos y pandebonos (números hipotéticos). ¿Cuánto vendió en dos días? ¿Y cuánta plata es eso?

Cada tabla es una matriz. Juntar dos días es sumar matrices y pasar unidades a pesos es multiplicar por un número. Míralo pasar casilla por casilla.

Momento animado

Casilla con casilla

Reproduce: sumar matrices es juntar cada casilla con su pareja, y multiplicar por un número es multiplicar todas las casillas.

A\ \text{(lunes)}

Punteada: B, las ventas del martes

OperaciónA y B

Etapas

Etapa 1 de 5 · Dos días

Arriba, A: lo que vendió la cafetería el lunes (filas: mañana y tarde; columnas: empanadas, jugos y pandebonos). Abajo, punteada, B: el martes.

\begin{pmatrix} 12 & 8 & 5 \\ 6 & 10 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 9 & 7 \\ 5 & 11 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 17 & 12 \\ 11 & 21 & 10 \end{pmatrix}

Suma de Matrices: La Regla de la Dimensión

Sumar dos matrices es tan sencillo como sumar sus elementos correspondientes. Sin embargo, existe una regla de oro: las matrices deben tener exactamente la misma dimensión.

Definición Formal

Si $A$ y $B$ son matrices de $m \times n$ , entonces su suma $C = A + B$ es otra matriz de $m \times n$ donde:

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Práctica: Suma

Suma Término a Término

EJERCICIO 1.1

Calcula la suma matricial: $\begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 3 \end{pmatrix}$

Compatibilidad Dimensional

EJERCICIO 1.2

¿Es posible sumar una matriz de dimensión $2 \times 3$ con una de $3 \times 2$ ?

Concepto Clave

"La suma de matrices es conmutativa (A+B = B+A) y asociativa, siempre que las dimensiones coincidan."

Producto por un Escalar: El Efecto Zoom

Multiplicar una matriz por un escalar (un número real) es como aplicar un factor de escala a toda la tabla. Cada elemento de la matriz se multiplica por dicho número.

k \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a & k \cdot b \\ k \cdot c & k \cdot d \end{pmatrix}

Práctica: Escalamiento

Multiplicación Escalar

EJERCICIO 2.1

Calcula el producto por escalar: $3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

Interpretación Algebraica

EJERCICIO 2.2

Si $A + A = B$ , ¿qué valor del escalar $k$ cumple que $k \cdot A = B$ ?

Laboratorio de Álgebra I

Visualiza la aritmética de arreglos en tiempo real.

Matriz A

\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}

Matriz B

\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Resultado

\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Ejemplo resuelto

Una combinación: 3A − 2B

Con $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ , calculemos $3A - 2B$ .

1
Multiplicar A por 3
Cada casilla por 3.
$3A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$
2
Multiplicar B por 2
Cada casilla por 2.
$2B = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$
3
Restar casilla con casilla
3 − 8 = −5; −6 − 10 = −16; 9 − (−2) = 11; 0 − 4 = −4.
$3A - 2B = \begin{pmatrix} -5 & -16 \\ 11 & -4 \end{pmatrix}$

Desafío tipo PISA

Gestión de Inventarios Globales

Una empresa de tecnología tiene dos almacenes (Norte y Sur) que guardan Tablets y Laptops. El inventario actual está en la matriz $A$ . Reciben un nuevo cargamento representado por la matriz $B$ :

A = \begin{pmatrix} 50 & 30 \\ 20 & 45 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 20 \\ 5 & 15 \end{pmatrix}

Inventario Consolidado y Duplicado

Debido a una promoción global, la empresa decide duplicar el inventario total resultante ( $2(A + B)$ ). ¿Cuál es la matriz final de existencias?