58. Álgebra de matrices I: suma y producto por un escalar

Aprende a operar matrices mediante la suma y la multiplicación escalar, comprendiendo las condiciones de dimensión necesarias.

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Suma de Matrices: La Regla de la Dimensión

Sumar dos matrices es tan sencillo como sumar sus elementos correspondientes. Sin embargo, existe una regla de oro: las matrices deben tener exactamente la misma dimensión.

Definición Formal

Si AA y BB son matrices de m×nm \times n, entonces su suma C=A+BC = A + B es otra matriz de m×nm \times n donde:

cij=aij+bijc_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
Práctica: Suma

EJERCICIO 1.1

Suma (15)+(−23)\begin{pmatrix} 1 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 3 \end{pmatrix}

Ver respuesta

(1−25+3)=(−18)\begin{pmatrix} 1-2 & 5+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 8 \end{pmatrix}

EJERCICIO 1.2

¿Se puede sumar una matriz 2×32 \times 3 con una 3×23 \times 2?

Ver respuesta

No. Deben tener las mismas dimensiones exactas para que cada elemento tenga una pareja con la cual sumarse.

Concepto Clave

"La suma de matrices es conmutativa (A+B = B+A) y asociativa, siempre que las dimensiones coincidan."

Producto por un Escalar: El Efecto Zoom

Multiplicar una matriz por un escalar (un número real) es como aplicar un factor de escala a toda la tabla. Cada elemento de la matriz se multiplica por dicho número.

k⋅(abcd)=(k⋅ak⋅bk⋅ck⋅d)k \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a & k \cdot b \\ k \cdot c & k \cdot d \end{pmatrix}
Práctica: Escalamiento

EJERCICIO 2.1

Calcula 3⋅(2−104)3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

Ver respuesta
(6−3012)\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}

EJERCICIO 2.2

Si A+A=BA + A = B, ¿qué escalar kk cumple que k⋅A=Bk \cdot A = B?

Ver respuesta

El escalar es k=2k = 2. Sumar una matriz consigo misma es lo mismo que multiplicarla por 2.

Laboratorio de Álgebra I

Visualiza la aritmética de arreglos en tiempo real.

Matriz A
(1−230)\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}
Matriz B
(45−12)\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
=
Resultado
(5322)\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
Desafío PISA

Gestión de Inventarios Globales

Una empresa de tecnología tiene dos almacenes (Norte y Sur) que guardan Tablets y Laptops. El inventario actual está en la matriz AA. Reciben un nuevo cargamento representado por la matriz BB.

A=(50302045),B=(1020515)A = \begin{pmatrix} 50 & 30 \\ 20 & 45 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 20 \\ 5 & 15 \end{pmatrix}
Debido a una promoción, la empresa decide duplicar el inventario total resultante. ¿Cuál es la matriz final de existencias?

Opción A(60502560)\begin{pmatrix} 60 & 50 \\ 25 & 60 \end{pmatrix}
Opción B(12010050120)\begin{pmatrix} 120 & 100 \\ 50 & 120 \end{pmatrix}
Opción C(100604090)\begin{pmatrix} 100 & 60 \\ 40 & 90 \end{pmatrix}
Ver Análisis de Almacén

Operación Combinada:

  1. Primero sumamos los inventarios: A+B=(50+1030+2020+545+15)=(60502560)A + B = \begin{pmatrix} 50+10 & 30+20 \\ 20+5 & 45+15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 & 50 \\ 25 & 60 \end{pmatrix}.
  2. Luego aplicamos el escalar 2: 2⋅(60502560)=(12010050120)2 \cdot \begin{pmatrix} 60 & 50 \\ 25 & 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 120 & 100 \\ 50 & 120 \end{pmatrix}.

Respuesta Correcta: B

La matriz final refleja el inventario consolidado y duplicado para la promoción.