57. Tipos de matrices: cuadrada, diagonal, identidad, trasp…

Para empezar

Voltear una tabla

Las hojas de cálculo tienen una opción para pegar una tabla «transpuesta»: lo que estaba en filas queda en columnas. Si tus notas estaban con un estudiante por fila y una materia por columna, después quedan con una materia por fila.

Con matrices, esa operación se llama trasponer. Tiene un dibujo sencillo: cada número se refleja en la diagonal. Míralo, y después veamos los otros tipos de matrices.

Momento animado

El reflejo en la diagonal

Reproduce: trasponer es cambiar filas por columnas. Mira el viaje de cada número.

A\ (2 \times 3)

TrasposiciónA

Etapas

Etapa 1 de 5 · La matriz A

A tiene 2 filas y 3 columnas. Su diagonal principal son las casillas (1, 1) y (2, 2): el 1 y el 5, resaltadas.

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

Ahora se ve A.

El Mundo de las Matrices Cuadradas

Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas y columnas ( $n \times n$ ). En ellas nace un concepto vital: la diagonal principal.

La Diagonal Principal

Son los elementos $a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn}$ . Si todos los demás elementos fuera de esta línea son cero, la matriz se llama diagonal.

Práctica: Identificación

Condición de Diagonalidad

EJERCICIO 1.1

¿Es $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ una matriz diagonal?

Diagonal Principal

EJERCICIO 1.2

Identifica los elementos de la diagonal principal en $A = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .

Concepto Clave

"Solo las matrices cuadradas tienen determinante, y en ellas la diagonal principal es protagonista."

Galería de Especialidades

Explora las formas que definen el comportamiento matricial.

Matriz Cuadrada

Tiene el mismo número de filas que de columnas (n × n). Es la base para calcular determinantes.

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

n = m

Identidad y Traspuesta

Existen dos operaciones/tipos que actúan como "espejos" o "neutros" en el álgebra matricial:

Matriz Identidad ( $I$ )

Funciona como el número 1. Cualquier matriz $A$ multiplicada por $I$ da como resultado la misma $A$ .

Matriz Traspuesta ( $A^T$ )

Es el resultado de "voltear" la matriz. Si $A$ es de $m \times n$ , su traspuesta $A^T$ es de $n \times m$ .

Práctica: Transformaciones

Traspuesta de Matriz Fila

EJERCICIO 2.1

Halla la traspuesta de la matriz fila $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ .

Invarianza de la Identidad

EJERCICIO 2.2

¿Qué matriz se obtiene al trasponer cualquier matriz identidad $I$ ?

Ejemplo resuelto

Reconocer tipos y trasponer

1
Una matriz diagonal
Es cuadrada (3 × 3) y fuera de la diagonal todo es 0.
$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$
2
La identidad
Diagonal con unos: I · A = A para cualquier A de su tamaño.
$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
3
Trasponer una 3 × 2
La primera fila (1, 2) pasa a ser la primera columna.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}$
4
Una matriz simétrica
Si al trasponerla queda igual, es simétrica: el 4 está a los dos lados de la diagonal.
$S = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = S^T$

Desafío tipo PISA

Intercambio de Inventario

Una empresa de logística organiza sus envíos en una matriz $A$ , donde las filas representan 3 almacenes y las columnas representan 2 tipos de productos (Electrónicos y Ropa).

Para un reporte de auditoría, el sistema requiere que la información se presente por Producto (filas) y Almacén (columnas).

Operación de Reorientación de Datos

¿Qué operación matricial debe ejecutar el software para reorganizar la matriz $A$ de 3 × 2 a una matriz de 2 × 3 con las categorías intercambiadas?