67. Sistemas lineales expresados en forma matricial

Para empezar

Armar un refrigerio con dos productos

Para el descanso hay dos refrigerios (números hipotéticos): el A trae 2 unidades de proteína y 1 de fibra; el B, 1 de proteína y 3 de fibra. Quieres juntar 5 de cada una. ¿Cuántos de cada uno necesitas?

El sistema $2x + y = 5$ , $x + 3y = 5$ se puede escribir en una sola línea, $A \cdot X = B$ . Y esa línea tiene un dibujo: x veces una columna más y veces la otra. Míralo.

Momento animado

La receta de columnas

Reproduce: A · X es x veces la primera columna más y veces la segunda. Mira cuántas de cada una llegan a B.

x · (2, 1), refrigerio A
y · (1, 3), refrigerio B
Meta B = (5, 5)

Refrigerios que se sumanx = 0; y = 0

Etapas

Etapa 1 de 5 · Las columnas

Cada columna de A es un refrigerio: el A aporta (2, 1) (proteína, fibra) y el B, (1, 3). La meta es B = (5, 5). ¿Cuántos de cada uno?

Refrigerios

x = 0; y = 0

del A y del B

Se consigue

(0; 0)

proteína y fibra

0 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

La Tríada Matricial

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede reescribirse como una única ecuación entre tres objetos matemáticos: una matriz de coeficientes, un vector de incógnitas y un vector de resultados.

Matriz de Coeficientes: Contiene solo los números que acompañan a las letras.

Vector de Incógnitas: Una matriz columna con las variables ( $x, y, z...$ ).

Vector de Términos Independientes: Los resultados después del signo igual.

Práctica: Identificación

Ejercicio 1.1: Matriz de Coeficientes de un Sistema

Identifica la matriz de coeficientes $A$ del sistema lineal: $\{ 3x + y = 5, \quad x - 2y = 0 \}$ .

Ejercicio 1.2: Vector de Términos en Sistemas Homogéneos

¿Cuál es la estructura del vector $B$ en un sistema de ecuaciones lineales donde todas las igualdades están igualadas a cero (sistema lineal homogéneo)?

Concepto Clave

"La forma matricial AX = B es una representación compacta que utiliza el producto de matrices para expresar múltiples ecuaciones simultáneamente."

Traductor Matricial

Cambia los coeficientes y observa cómo se construye la ecuación $AX = B$ .

Sistema de Ecuaciones

x +y =

Forma Matricial $AX = B$

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}

La Solución en un Solo Paso

Una vez que el sistema está en forma $AX = B$ , resolverlo es algebraicamente elegante. Si la matriz $A$ tiene inversa, podemos despejar $X$ directamente.

X = A^{-1} \cdot B

La Fórmula de Resolución

¿Por qué funciona?

Al multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda, $A^{-1}A$ se convierte en la identidad $I$ , dejando a la $X$ sola. Es el equivalente matricial a dividir por el coeficiente.

Práctica: Resolución

Ejercicio 2.1: Resolución Matricial Directa

Si $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y el vector de resultados es $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ , halla el vector de incógnitas $X$ .

Ejercicio 2.2: Limitación del Método de la Inversa

¿Qué ocurre al intentar resolver el sistema lineal $AX = B$ mediante la inversa si $\det(A) = 0$ ?

Ejemplo resuelto

Los refrigerios con la inversa

1
Escribir A · X = B
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$
2
Ver si A tiene inversa
det(A) = 2 · 3 − 1 · 1 = 5, que no es 0.
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
3
Multiplicar por la izquierda
Como A⁻¹ · A = I, queda X = A⁻¹ · B.
$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 15 - 5 \\ -5 + 10 \end{pmatrix}$
4
Simplificar
$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
5
Comprobar
2 · 2 + 1 = 5 de proteína y 2 + 3 · 1 = 5 de fibra.

Dos refrigerios A y uno B: el mismo punto al que llegó la receta de columnas del momento animado.

Desafío tipo PISA

Balance Nutricional Inteligente

Un nutricionista clínico diseña una dieta usando dos alimentos. El Alimento 1 aporta 2g de proteína y 5g de carbohidratos por porción. El Alimento 2 aporta 4g de proteína y 2g de carbohidratos por porción.

El paciente debe consumir exactamente 20g de proteína y 30g de carbohidratos. Si $x$ es la cantidad de porciones del Alimento 1 e $y$ la del Alimento 2, ¿cuál es la representación matricial $AX = B$ correcta para modelar y resolver este régimen nutricional?

Problema tipo PISA: Modelado Nutricional en Forma Matricial

Identifica la ecuación matricial canónica que representa el requerimiento nutricional: