67. Sistemas lineales expresados en forma matricial

Aprende a transformar sistemas de ecuaciones en ecuaciones matriciales y descubre cómo la matriz inversa permite resolverlos de un solo golpe.

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La Tríada Matricial

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede reescribirse como una única ecuación entre tres objetos matemáticos: una matriz de coeficientes, un vector de incógnitas y un vector de resultados.

A

Matriz de Coeficientes: Contiene solo los números que acompañan a las letras.

X

Vector de Incógnitas: Una matriz columna con las variables (x,y,z...x, y, z...).

B

Vector de Términos Independientes: Los resultados después del signo igual.

Práctica: Identificación

EJERCICIO 1.1

Identifica la matriz AA de: {3x+y=5, x−2y=0}\{ 3x + y = 5, \ x - 2y = 0 \}

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A=(311−2)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}

EJERCICIO 1.2

¿Cuál es el vector BB en un sistema donde todas las ecuaciones están igualadas a cero?

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Es el vector nulo (una columna de ceros). Este tipo de sistemas se llaman homogéneos.

Concepto Clave

"La forma matricial AX = B es una representación compacta que utiliza el producto de matrices para expresar múltiples ecuaciones simultáneamente."

Traductor Matricial

Cambia los coeficientes y observa cómo se construye la ecuación AX=BAX = B.

Sistema de Ecuaciones

x +y =
x +y =

Forma Matricial AX=BAX = B

(231−1)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}A
(xy)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}X
=
(81)\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}B

La Solución en un Solo Paso

Una vez que el sistema está en forma AX=BAX = B, resolverlo es algebraicamente elegante. Si la matriz AA tiene inversa, podemos despejar XX directamente.

X=A−1⋅BX = A^{-1} \cdot B

La Fórmula de Resolución

¿Por qué funciona?

Al multiplicar por A−1A^{-1} por la izquierda, A−1AA^{-1}A se convierte en la identidad II, dejando a la XX sola. Es el equivalente matricial a dividir por el coeficiente.

Práctica: Resolución

EJERCICIO 2.1

Si A−1=(1201)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(34)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, halla XX.

Ver solución
X=(1(3)+2(4)0(3)+1(4))=(114)X = \begin{pmatrix} 1(3) + 2(4) \\ 0(3) + 1(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}

EJERCICIO 2.2

¿Qué sucede si det⁡(A)=0\det(A) = 0 al intentar usar este método?

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El método falla porque la inversa A−1A^{-1} no existe. El sistema podría ser incompatible o compatible indeterminado.

Desafío PISA

Balance Nutricional Inteligente

Un nutricionista diseña una dieta usando dos alimentos. El Alimento 1 aporta 2g de proteína y 5g de carbohidratos por porción. El Alimento 2 aporta 4g de proteína y 2g de carbohidratos.

El paciente debe consumir exactamente 20g de proteína y 30g de carbohidratos. Si xx es la cantidad del Alimento 1 e yy la del Alimento 2, ¿cuál es la representación matricial correcta para hallar las porciones?

Opción A(2542)(xy)=(2030)\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 30 \end{pmatrix}
Opción B(2452)(xy)=(2030)\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 30 \end{pmatrix}
Opción C(203024)(xy)=(52)\begin{pmatrix} 20 & 30 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}
Ver Análisis de Dieta

Construcción del Sistema:

  1. Ecuación Proteína: 2x+4y=202x + 4y = 20
  2. Ecuación Carbohidratos: 5x+2y=305x + 2y = 30
  3. La matriz AA debe tener los coeficientes de xx en la primera columna y los de yy en la segunda.

Respuesta Correcta: B

La matriz correcta es (2452)\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}. Nota que la primera fila corresponde a la proteína y la segunda a los carbohidratos.