66. Ecuaciones matriciales: despeje de la incógnita X

Para empezar

Descifrar el mensaje

Alguien de tu curso cifra la palabra DIME como en la lección anterior: cambia cada letra por su lugar en el alfabeto (D = 4, I = 9, M = 13 y E = 5), las pone por columnas en una matriz $X$ y la multiplica por una clave $A$ . Te llega $B = A \cdot X$ . En el cifrado de Hill de verdad las cuentas se hacen con los residuos de dividir entre 26; aquí van sin eso, para ver la idea.

Para leer el mensaje hay que despejar $X$ . Con números pasarías a dividir; con matrices no se divide, se multiplica por la inversa. ¿Por qué lado? Míralo.

Momento animado

La inversa entra por su lado

Reproduce: mira por qué lado entra A⁻¹ y con quién queda pegada.

DespejeAX = B

Etapas

Etapa 1 de 10 · AX = B

Alguien cifró la palabra DIME con la clave A: te llega B = A · X. Para leer el mensaje hay que despejar X, y entre matrices no se divide: se multiplica por la inversa.

B = AX = \begin{pmatrix} 17 & 31 \\ 13 & 18 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Lo que llega cifrado, la clave y su inversa.

El Lado Importa

En el álgebra común, si $ax = b$ , simplemente pasas la $a$ dividiendo. En matrices, la división no existe. Para eliminar una matriz, multiplicamos por su inversa, pero debemos hacerlo por el mismo lado donde se encuentra la matriz que queremos quitar.

Por la Izquierda

AX = B \implies X = A^{-1}B

Si $A$ está a la izquierda de $X$ , su inversa entra por la izquierda.

Por la Derecha

XA = B \implies X = BA^{-1}

Si $A$ está a la derecha de $X$ , su inversa entra por la derecha.

Práctica: Despeje Básico

Ejercicio 1.1: Ecuación Matricial con Escalar

Despeja la matriz incógnita $X$ en la igualdad $2X = A$ , donde $2$ es un número real y $A$ es una matriz conocida.

Ejercicio 1.2: Ecuación Matricial Bilateral

Dadas las matrices invertibles $A$ y $B$ , despeja la incógnita $X$ en: $AXB = C$ .

Concepto Clave

"En ecuaciones matriciales, el orden de los factores es sagrado debido a la no conmutatividad del producto."

Simulador de Despeje

El orden de la inversa es la clave del éxito.

Ecuación Inicial

AX = B

Multiplicamos por $A^{-1}$ por la IZQUIERDA en ambos lados.

$A^{-1}(AX) = A^{-1}B$

$(A^{-1}A)X = A^{-1}B$

Solución Final

X = A^{-1}B

Jerarquía de Operaciones

Cuando la ecuación incluye sumas o restas, seguimos el mismo orden que en el álgebra básica: primero movemos lo que suma o resta, y al final despejamos los productos usando inversas.

El Requisito de Invertibilidad

Para poder despejar $X$ usando $A^{-1}$ , la matriz $A$ debe ser regular (su determinante debe ser distinto de cero). Si $\det(A) = 0$ , la ecuación podría no tener solución.

Práctica: Pasos Combinados

Ejercicio 2.1: Despeje en Ecuación con Término Aditivo

Despeja la matriz incógnita $X$ en: $XA - B = 2I$ , considerando que $A$ es invertible.

Ejercicio 2.2: Factor Común Matricial

¿Qué propiedad algebraica y factorización permiten despejar $X$ en la ecuación $AX + BX = C$ ?

Ejemplo resuelto

Despejar X en AX + B = C

Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ , despejemos $X$ .

1
Pasar B restando
Como con números: B se resta en los dos lados.
$AX = C - B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$
2
La inversa de A
det(A) = 1 · 3 − 2 · 1 = 1, y el atajo de la 2 × 2.
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
3
A⁻¹ por la izquierda
A está a la izquierda de X, así que su inversa entra por la izquierda en los dos lados.
$X = A^{-1}(C - B)$
4
Multiplicar
Fila por columna: 9 − 8 = 1, 15 − 16 = −1, −3 + 4 = 1 y −5 + 8 = 3.
$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
5
Comprobar
AX da (3, 5; 4, 8), y al sumarle B queda C.
$AX + B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = C$

Desafío tipo PISA

Optimización de Producción Automatizada

Una planta robótica utiliza una matriz de recursos $A$ para transformar un vector de producción $X$ (unidades a fabricar) en un vector de costos totales $B$ . La relación es $AX = B$ .

Si la gerencia establece un presupuesto objetivo $B$ , ¿cómo debe programarse el algoritmo de control numérico para hallar la cantidad exacta de unidades $X$ que deben producirse?

Problema tipo PISA: Despeje Algorítmico del Vector de Producción

Selecciona la formulación matemática correcta para despejar $X$ en $AX = B$ :