66. Ecuaciones matriciales: despeje de la incógnita X

Aprende a resolver ecuaciones donde la incógnita es una matriz, dominando el uso de la matriz inversa y respetando la no conmutatividad del producto.

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El Lado Importa

En el álgebra común, si ax=bax = b, simplemente pasas la aa dividiendo. En matrices, la división no existe. Para eliminar una matriz, multiplicamos por su inversa, pero debemos hacerlo por el mismo lado donde se encuentra la matriz que queremos quitar.

Por la Izquierda
AX=B  ⟹  X=A−1BAX = B \implies X = A^{-1}B

Si AA está a la izquierda de XX, su inversa entra por la izquierda.

Por la Derecha
XA=B  ⟹  X=BA−1XA = B \implies X = BA^{-1}

Si AA está a la derecha de XX, su inversa entra por la derecha.

Práctica: Despeje Básico

EJERCICIO 1.1

Despeja XX en: 2X=A2X = A

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Como el 2 es un escalar (número), aquí sí podemos pasar dividiendo: X=12AX = \frac{1}{2}A.

EJERCICIO 1.2

Despeja XX en: AXB=CAXB = C

Ver respuesta

Multiplicamos por A−1A^{-1} por la izquierda y por B−1B^{-1} por la derecha: X=A−1CB−1X = A^{-1}CB^{-1}.

Concepto Clave

"En ecuaciones matriciales, el orden de los factores es sagrado debido a la no conmutatividad del producto."

Simulador de Despeje

El orden de la inversa es la clave del éxito.

Ecuación Inicial{AX=B}\{ AX = B \}
1

Multiplicamos por A^{-1} por la IZQUIERDA en ambos lados.

2

A−1(AX)=A−1BA^{-1}(AX) = A^{-1}B

3

(A−1A)X=A−1B(A^{-1}A)X = A^{-1}B

Solución FinalX=A−1BX = A^{-1}B

Jerarquía de Operaciones

Cuando la ecuación incluye sumas o restas, seguimos el mismo orden que en el álgebra básica: primero movemos lo que suma o resta, y al final despejamos los productos usando inversas.

El Requisito de Invertibilidad

Para poder despejar XX usando A−1A^{-1}, la matriz AA debe ser regular (su determinante debe ser distinto de cero). Si det⁡(A)=0\det(A) = 0, la ecuación podría no tener solución.

Práctica: Pasos Combinados

EJERCICIO 2.1

Despeja XX en: XA−B=2IXA - B = 2I

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1. XA=2I+BXA = 2I + B

2. X=(2I+B)A−1X = (2I + B)A^{-1}

EJERCICIO 2.2

¿Qué propiedad usas para despejar XX en AX+BX=CAX + BX = C?

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Usamos la propiedad distributiva (sacar factor común por la derecha): (A+B)X=C  ⟹  X=(A+B)−1C(A + B)X = C \implies X = (A + B)^{-1}C.

Desafío PISA

Optimización de Producción Automatizada

Una planta robótica utiliza una matriz de recursos AA para transformar un vector de producción XX (unidades a fabricar) en un vector de costos totales BB. La relación es AX=BAX = B.

Si la gerencia establece un presupuesto objetivo BB, ¿cómo debe programarse el sistema para hallar la cantidad exacta de unidades XX que deben producirse?

Opción AX=B⋅A−1X = B \cdot A^{-1}
Opción BX=A−1⋅BX = A^{-1} \cdot B
Opción CX=BAX = \frac{B}{A}
Ver Análisis de Ingeniería

Razonamiento Lógico:

  1. Partimos de AX=BAX = B.
  2. La matriz AA está multiplicando a XX por la izquierda.
  3. Para despejar XX, debemos multiplicar por A−1A^{-1} también por la izquierda en ambos lados de la igualdad.
  4. Esto nos da: A−1(AX)=A−1B  ⟹  IX=A−1B  ⟹  X=A−1BA^{-1}(AX) = A^{-1}B \implies IX = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B.

Respuesta Correcta: B

La opción A es incorrecta porque el producto de matrices no es conmutativo; multiplicar por la derecha daría un resultado erróneo o imposible.