65. Cálculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos

Domina el procedimiento sistemático para hallar la inversa de cualquier matriz cuadrada utilizando determinantes, cofactores y la matriz adjunta.

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La Estructura de la Inversa

El método de los adjuntos es un camino directo para encontrar A−1A^{-1}. Se basa en una relación fundamental entre el determinante y la matriz traspuesta de los cofactores.

A−1=1∣A∣⋅Adj(A)A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)

Fórmula General

El Cofactor (Adjunto)

El cofactor AijA_{ij} es el determinante del menor correspondiente multiplicado por (−1)i+j(-1)^{i+j}. Este signo alterna como un tablero de ajedrez.

Práctica: Determinante y Signos

EJERCICIO 1.1

¿Cuál es el signo del cofactor para la posición a21a_{21}?

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Es (−1)2+1=(−1)3=−1(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1. El signo es negativo.

EJERCICIO 1.2

Si ∣A∣=0.5|A| = 0.5, ¿por qué número multiplicamos la matriz adjunta?

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Multiplicamos por 1/0.5=21/0.5 = 2.

Concepto Clave

"La matriz inversa existe si y solo si el determinante es distinto de cero."

Calculadora de Adjuntos

Sigue la receta para invertir la matriz A=(2314)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

Paso 1: El Determinante

Calculamos |A|. Si es cero, el proceso se detiene: la matriz no tiene inversa.

∣A∣=(2⋅4)−(1⋅3)=5|A| = (2 \cdot 4) - (1 \cdot 3) = 5

El Atajo para Matrices 2x2

Para matrices de segundo orden, no necesitas calcular cofactores uno por uno. Existe un movimiento mecánico infalible:

(abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(d−b−ca)\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

1. Intercambia aa y dd.

2. Cambia el signo a bb y cc.

3. Divide todo por el determinante.

Práctica: Inversión Rápida

EJERCICIO 2.1

Halla la adjunta de (5213)\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

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Adj(A)=(3−2−15)Adj(A) = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}

EJERCICIO 2.2

¿Cuál es la inversa de (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}?

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Es la misma matriz. El determinante es 1, y al aplicar el atajo queda igual. I⁻¹ = I.

Desafío PISA

Restauración de Señales Digitales

En las telecomunicaciones, una señal XX se distorsiona al pasar por un canal AA, convirtiéndose en Y=AXY = AX. Para recuperar la señal original, el receptor debe aplicar la inversa: X=A−1YX = A^{-1}Y.

Si el canal de distorsión es A=(1237)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}, ¿cuál es la matriz de restauración que debe usar el receptor?

Opción A(7−2−31)\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}
Opción B(7−2−31)\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}
Opción C(1−2−37)\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 7 \end{pmatrix}
Ver Protocolo de Restauración

Cálculo de la Inversa:

  1. Determinante: ∣A∣=(1)(7)−(2)(3)=7−6=1|A| = (1)(7) - (2)(3) = 7 - 6 = 1.
  2. Adjunta (Atajo 2x2): Intercambiamos 1 y 7, cambiamos signos a 2 y 3.
  3. Resultado: Adj(A)=(7−2−31)Adj(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.
  4. Como ∣A∣=1|A| = 1, la inversa es igual a la adjunta.

Respuesta Correcta: B

La matriz de restauración es (7−2−31)\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}. Al aplicarla a la señal distorsionada, se recupera la información original sin pérdida.