65. Cálculo de la matriz inversa por el método de los adjun…

Para empezar

Un mensaje en clave

Para mandar un mensaje en clave se puede cambiar cada letra por un número, agrupar los números de tres en tres y multiplicar cada grupo por una matriz 3 × 3. Ese método existe: lo publicó el matemático Lester Hill en 1929 y hoy se llama cifrado de Hill. Quien recibe el mensaje necesita la inversa de esa matriz para leerlo.

En la lección anterior viste cuándo existe la inversa. Aquí vas a ver cómo se calcula, casilla por casilla: tapar, calcular, trasponer y dividir. Míralo.

Momento animado

Tapar, calcular, trasponer y dividir

Reproduce: cada adjunto sale de tapar una fila y una columna. Después mira cómo la matriz de adjuntos se vuelve la inversa.

A

\text{Cof}(A)

Recetadeterminante

Etapas

Etapa 1 de 9 · det(A)

Primero, el determinante: det(A) = 3. Como no es 0, A sí tiene inversa. La otra matriz empieza como el tablero de signos: + y − alternados, como en un tablero de ajedrez.

\det(A) = (2 + 0 + 1) - (0 + 0 + 0) = 3 \neq 0

Por Sarrus: los productos de las tres diagonales que bajan, menos los de las tres que suben.

La Estructura de la Inversa

El método de los adjuntos es un camino directo para encontrar $A^{-1}$ . Se basa en una relación fundamental entre el determinante y la matriz traspuesta de los cofactores.

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)

Fórmula General

El Cofactor (Adjunto)

El cofactor o adjunto $A_{ij}$ (en el momento animado y en la calculadora se escribe $C_{ij}$ ) es el determinante del menor correspondiente multiplicado por $(-1)^{i+j}$ . Este signo alterna como un tablero de ajedrez.

Práctica: Determinante y Signos

Ejercicio 1.1: Signo Posicional del Cofactor

¿Cuál es el factor de signo posicional $(-1)^{i+j}$ correspondiente al cofactor de la entrada $a_{21}$ ?

Ejercicio 1.2: Factor Escalar en la Inversa

Si una matriz $A$ tiene determinante $\det(A) = 0{,}5$ , ¿por cuál número escalar multiplicamos la matriz adjunta $\text{Adj}(A)$ para obtener $A^{-1}$ ?

Concepto Clave

"La matriz inversa existe si y solo si el determinante es distinto de cero."

Calculadora de Adjuntos

Sigue la receta para invertir la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

Paso 1: El Determinante

Calculamos |A|. Si es cero, el proceso se detiene: la matriz no tiene inversa.

|A| = (2 \cdot 4) - (1 \cdot 3) = 5

El Atajo para Matrices 2 × 2

Para matrices de segundo orden, no necesitas calcular cofactores uno por uno. Existe un movimiento mecánico infalible:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

1. Intercambia $a$ y $d$ .

2. Cambia el signo a $b$ y $c$ .

3. Divide todo por el determinante.

Práctica: Inversión Rápida

Ejercicio 2.1: Cálculo de la Matriz Adjunta 2 × 2

Halla la matriz adjunta $\text{Adj}(A)$ de $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ aplicando la regla directa para orden 2.

Ejercicio 2.2: Inversa de la Matriz Identidad por Adjuntos

Calcula la inversa de la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ empleando determinantes y adjuntos.

Ejemplo resuelto

La inversa de una 3 × 3

Calculemos la inversa de $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

1
El determinante
Por Sarrus: las tres diagonales que bajan suman 2 + 0 + 0 y las tres que suben, 0 + 0 + 0. No es 0: sí hay inversa.
$\det(B) = 2 - 0 = 2$
2
Un adjunto con signo −
Se tapan la fila 2 y la columna 1. En el tablero, la casilla (2, 1) es −.
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2$
3
Otro con signo −
Se tapan la fila 2 y la columna 3. El determinante da 2 · 0 − 2 · 1 = −2 y el signo lo vuelve 2.
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2$
4
Todos los adjuntos
Los otros siete salen igual.
$\text{Cof}(B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
5
Trasponer y dividir
Las filas de Cof(B) pasan a ser columnas, y todo se divide entre det(B) = 2.
$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
6
Comprobar
Cada fila de B por cada columna de la adjunta da 2 en la diagonal y 0 en lo demás.
$B \cdot \text{Adj}(B) = 2I$

Desafío tipo PISA

Restauración de Señales Digitales

En telecomunicaciones y procesamiento de audio digital, una señal vectorial $X$ se distorsiona al atravesar un canal físico modelado por la matriz $A$ , generándose la señal alterada $Y = AX$ . Para recuperar la señal original limpia sin atenuación, el receptor aplica el filtro inverso: $X = A^{-1}Y$ .

Si la matriz de distorsión del canal es: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ ¿Cuál es la matriz exacta de filtrado de restauración que debe programarse en el receptor?

Problema tipo PISA: Síntesis del Filtro Inverso de Restauración

Determina la matriz inversa $A^{-1}$ para decodificar la señal distorsionada: