55. Resolución de problemas mediante sistemas lineales

El Arte de Modelar

La modelización matemática no es solo resolver ecuaciones; es el proceso de simplificar la realidad para entenderla. Resolver un sistema es como ajustar el enfoque de una cámara: cuando las condiciones se alinean, la solución aparece clara.

1. Identificar y Definir

Busca las preguntas del problema. Esas son tus incógnitas. Asígnales letras claras: $p$ para precio, $t$ para tiempo.

2. Establecer Restricciones

Cada frase del problema suele ser una restricción. Tradúcelas a ecuaciones. "El total es 100" se convierte en $x + y = 100$ .

Práctica: Traducción Directa

EJERCICIO 1.1

"Un número es el triple del otro y su suma es 40". Escribe el sistema.

Ver sistema

\begin{cases} x = 3y \\ x + y = 40 \end{cases}

EJERCICIO 1.2

En el problema anterior, ¿cuál es el valor de los números?

Ver solución

Sustituyendo: $3y + y = 40 \Rightarrow 4y = 40 \Rightarrow y = 10$ . Entonces $x = 30$ .

Traductor de Problemas

Aprende a identificar las ecuaciones ocultas en el texto.

Variables

x: primer número, y: segundo número

Sistema Resultante

\{ x + y = 20 \}

\{ x - y = 4 \}

La palabra 'diferencia' siempre implica una resta.

Escenarios de Aplicación

Existen tres tipos de problemas que aparecen constantemente en ciencias y negocios:

Mezclas

Combinar sustancias con diferentes concentraciones para obtener una mezcla final específica.

Cinemática

Calcular puntos de encuentro entre dos objetos que se mueven a velocidades constantes.

Finanzas

Distribuir capital en diferentes inversiones para alcanzar un rendimiento deseado.

Práctica: Aplicaciones

EJERCICIO 2.1 (FINANZAS)

Tienes $5000. Una parte al 4% y otra al 6%. El interés total es $260. ¿Cuánto invertiste al 6%?

Ver solución

$x + y = 5000$

$0.04x + 0.06y = 260$

Solución: $3000 al 6%.

EJERCICIO 2.2 (MEZCLAS)

Mezclas café de $10/kg con café de $15/kg para obtener 20kg a $12/kg. ¿Cuánto de cada uno?

Ver solución

$x + y = 20$

$10x + 15y = 12(20)$

Solución: 12kg de $10 y 8kg de $15.

Desafío PISA

Logística de Ayuda Humanitaria

Un avión de carga debe transportar 1200 kg de suministros médicos en dos tipos de contenedores: Tipo A (50 kg cada uno) y Tipo B (80 kg cada uno).

El espacio es limitado y solo caben 20 contenedores en total. ¿Cuántos contenedores de cada tipo debe cargar el avión para aprovechar al máximo su capacidad de peso y espacio?

Opción A

A: 10, B: 10

Opción B

A: 13.3, B: 6.6 (Imposible)

Opción C

A: 15, B: 5

Ver Análisis de Carga

Modelado del Sistema:

Restricción de Espacio: $A + B = 20$
Restricción de Peso: $50A + 80B = 1200$
Despejamos A de la primera: $A = 20 - B$ .
Sustituimos: $50(20 - B) + 80B = 1200$ .
Resolvemos: $1000 - 50B + 80B = 1200 \Rightarrow 30B = 200 \Rightarrow B \approx 6.66$ .

Conclusión Crítica

Matemáticamente, la solución no da números enteros. En la vida real, esto significa que no se pueden cumplir ambas restricciones exactamente. El avión deberá cargar 13 contenedores A y 6 B (sobrando peso) o buscar otra combinación. Este es un ejemplo de cómo los sistemas nos ayudan a ver los límites de la realidad.