55. Resolución de problemas mediante sistemas lineales

Para empezar

Las boletas del bazar

Para el bazar del colegio, el curso vendió 40 boletas: las de estudiante a $5.000 y las de adulto a $8.000. Al final contaron $242.000 (números hipotéticos). ¿Cuántas boletas de cada tipo vendieron?

El problema trae dos condiciones: cuántas boletas y cuánto dinero. Cada una, por separado, deja muchas posibilidades; juntas dejan una sola. Míralo antes de plantear el sistema.

Momento animado

Una recta de posibilidades

Reproduce: el punto prueba las maneras de vender 40 boletas hasta encontrar la que deja $242.000.

x + y = 40 (las 40 boletas)
5x + 8y = 242 (el dinero, en miles)

Boletas de estudiantex = 0

Etapas

Etapa 1 de 4 · Primera condición

x boletas de estudiante y y de adulto suman 40: x + y = 40. Cada punto de esta recta con coordenadas enteras es una manera posible de vender las 40 boletas.

Boletas que se prueban

0 y 40

de estudiante y de adulto

Se recogería

$320.000

5.000 · 0 + 8.000 · 40

Meta: $242.000.

El Arte de Modelar la Realidad

Modelar matemáticamente es traducir restricciones verbales en un sistema formal de igualdades. La solución del sistema revela el punto exacto de equilibrio donde todos los requerimientos coexisten.

1. Declarar Incógnitas

Escoge una letra para cada cantidad que pregunta el problema y anota su unidad (kg, pesos, horas).

2. Formular Balances

Cada condición de balance (conservación de masa, límite presupuestario, capacidad volumétrica) produce una ecuación lineal del sistema.

Ejercicio 1: Traducción de Lenguaje Natural a Modelo Lineal

"Un número es el triple de otro y su suma total es 40". Si $x$ es el número mayor y $y$ el menor, ¿cuál es el sistema y la pareja de números?

Concepto Clave

"Un modelo lineal traduce fronteras y restricciones del mundo real en un sistema con solución verificable."

Ejemplo resuelto

Las boletas, con un sistema

Sean $x$ las boletas de estudiante y $y$ las de adulto. Conviene contar el dinero en miles.

1
Una ecuación por condición
Cuántas boletas y cuánto dinero.
$\begin{cases} x + y = 40 \\ 5x + 8y = 242 \end{cases}$
2
Despejar y sustituir
$\begin{aligned} y &= 40 - x \\ 5x + 8(40 - x) &= 242 \end{aligned}$
3
Resolver
8 · 40 = 320 y 5x − 8x = −3x.
$\begin{aligned} 320 - 3x &= 242 \\ x &= 26 \end{aligned}$
4
La otra incógnita
$y = 40 - 26 = 14$
5
Comprobar con el enunciado
26 + 14 = 40 boletas y 26 · 5.000 + 14 · 8.000 = 130.000 + 112.000 = 242.000 pesos.

Vendieron 26 boletas de estudiante y 14 de adulto: el punto donde se cruzaron las dos rectas del momento animado.

Simulador de Modelado Aplicado

Traducción de lenguaje natural a modelos analíticos de decisión.

Finanzas: dos ahorros

Una familia reparte 5 millones de pesos entre dos ahorros (tasas hipotéticas): uno rinde 4% al año y el otro 6%. Al cabo del año, los dos juntos rindieron $260.000.

Paso 1: Definición de Incógnitas

$x$ = millones en el ahorro al 4%
$y$ = millones en el ahorro al 6%

Paso 2: Sistema Lineal Resultante

\begin{cases} x + y = 5 \\ 0{,}04x + 0{,}06y = 0{,}26 \end{cases}

Dinero repartido, en millones
Rendimiento del año, en millones

Grandes Familias de Aplicación

Muchos problemas aplicados de olimpiadas y pruebas de Estado se agrupan en tres familias:

Mezclas y Concentración

Conservación de soluto y disolvente: $c_1 x + c_2 y = c_f(x+y)$ .

Cinemática y Encuentro

Movimiento relativo de móviles a velocidades uniformes: $d = v \cdot t$ .

Carteras y Finanzas

Distribución de capital e interés ponderado: $r_1 x + r_2 y = I_{total}$ .

Ejercicio 2: dos ahorros

Una familia reparte 5 millones de pesos entre un ahorro al 4% anual y otro al 6% (tasas hipotéticas). ¿Qué reparto rinde exactamente $260.000 en un año?

Practica

Planes, ruedas y aviones

Tres problemas más. El primero es del libro Matemáticas para un mundo sostenible (capítulo 2, sección 2.6, ejercicio 9). Antes de calcular, escribe qué significa cada letra.

Ejercicio 3 (tipo Saber 11): tres planes de bicicleta

Con las bicicletas públicas de la lección 48 (tarifas hipotéticas): el plan A cuesta $25.000 al mes más $500 por viaje, el B $2.950 por viaje y el C $40.000 al mes con viajes ilimitados. ¿Cuál es el más barato para alguien que hace 20 viajes al mes?

Ejercicio 4: el parqueadero

En un parqueadero hay 30 vehículos entre carros y motos, y en total tienen 96 ruedas. ¿Cuántos carros hay?

Desafío tipo PISA y Saber 11: Logística Aérea de Ayuda Humanitaria

Un avión de transporte debe llevar exactamente 20 contenedores de suministros médicos sin superar su carga útil de 1200 kg. Hay dos clases de bultos: Tipo A (50 kg) y Tipo B (80 kg).

Al plantear $A + B = 20$ y $50A + 80B = 1200$ se obtiene $A \approx 13{,}33$ y $B \approx 6{,}67$ . ¿Qué combinación real lleva la mayor carga posible?