54. Aplicación de Gauss a sistemas dependientes e independi…

Para empezar

¿Un dato que sobra?

En la lección anterior, tres combos de la tienda escolar alcanzaban para saber el precio de la empanada, el jugo y el pandebono. Ahora imagina que el tercer combo es simplemente el primero y el segundo juntos: 3 empanadas, 2 jugos y 4 pandebonos por $16.000 (precios hipotéticos).

Son tres ecuaciones, pero una no dice nada nuevo. ¿Qué hace el método de Gauss con un dato que sobra? ¿Y con uno que contradice a los otros? Míralo en la tabla.

Momento animado

La fila que se vuelve ceros

Reproduce: escalona un sistema en el que una ecuación sobra y mira qué dice la última fila.

R₁1116

R₂21310

R₃32416

Avance del métodoTabla inicial

Etapas

Etapa 1 de 5 · Tres combos

Ahora el tercer combo es el primero más el segundo juntos: 3 empanadas, 2 jugos y 4 pandebonos por $16.000 (precios hipotéticos). ¿Alcanzan estos datos para saber los precios?

El sistema que dice la tabla ahora (tercer combo a $16.000)

\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x + y + 3z &= 10 \\ 3x + 2y + 4z &= 16 \end{aligned}

Sistemas Independientes (SCD): Plenitud de Rango

Un sistema es Linealmente Independiente cuando ninguna ecuación puede formarse como combinación lineal de las demás. Cada fila aporta una restricción nueva que confina la solución a un único punto en el espacio.

Teorema de Rouché-Frobenius (SCD):

\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = n \implies \text{Solución Única}

Ejercicio 1: Lectura de Filas Escalonadas

Tras aplicar Gauss a un sistema con incógnitas $(x, y, z)$ , la tercera fila resulta ser $[0, 0, 3 \mid 9]$ . ¿Cuál es el valor deducido de $z$ ?

Concepto Clave

"Cuando el rango coincide con el número de variables, no existen grados de libertad y la solución es puntual."

Ejemplo resuelto

Un sistema con una ecuación de más

Resolvamos $x + y - z = 1$ , $2x + 3y + z = 8$ y $3x + 4y = 9$ .

1
Ceros en la columna de x
R₂ − 2R₁ y R₃ − 3R₁.
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \end{array}\right)$
2
Cero en la columna de y
R₃ − R₂: la tercera fila se vuelve toda ceros.
$[0,\ 0,\ 0 \mid 0]$
3
Leer el resultado
La fila de ceros dice 0 = 0: quedan 2 ecuaciones útiles para 3 incógnitas. Hay infinitas soluciones y una incógnita queda libre: la z.
4
Despejar en función de z
$\begin{aligned} y &= 6 - 3z \\ x &= 1 - y + z = 4z - 5 \end{aligned}$
5
Una solución cualquiera
Con z = 2: y = 0 y x = 3. Comprobación: 3 + 0 − 2 = 1, 6 + 0 + 2 = 8 y 9 + 0 = 9.
$(3,\ 0,\ 2)$

La tercera ecuación era la suma de las otras dos: $(x + y - z) + (2x + 3y + z) = 3x + 4y$ y $1 + 8 = 9$ .

Laboratorio: Rangos y Grados de Libertad

Teorema de Rouché-Frobenius e interpretación de filas nulas y pivotes.

Matriz Escalonada FinalCompatible Indeterminado (SCI)

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 10 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Interpretación: La última fila se anuló totalmente ( $0=0$ ). Rango(A) = 2 = Rango(A|B) < 3. Queda 1 grado de libertad ( $3 - 2 = 1$ ). Las soluciones forman una recta en ℝ³.

Parámetro Libre (λ = z)λ = 2

Solución particular para λ = 2:

x = 7(2) = 14

y = 5 - 3(2) = -1

z = 2

Punto en ℝ³: (14, -1, 2)

Comprobación en la 1.ª fila: 14 + 2·(-1) − (2) = 10 ✓

Comprobación en la 2.ª fila: (-1) + 3·(2) = 5 ✓

Dependencia Lineal e Incompatibilidad

La aparición de filas de ceros en la matriz reducida de Gauss revela la estructura intrínseca del sistema:

Fila Nula [0, 0, ..., 0 | 0] (SCI)

Representa la tautología $0=0$ . Indica que una ecuación era redundante. Existen infinitas soluciones parametrizadas por $n - \text{rg}(A)$ variables libres.

Fila Absurda [0, 0, ..., 0 | k] (SI)

Con $k \neq 0$ , traduce $0 = k$ . Es una contradicción lógica insalvable. El sistema no admite soluciones reales.

Ejercicio 2: Grados de Libertad y Teorema de Rouché-Frobenius

Si un sistema de 3 incógnitas tiene rango matricial $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2$ , ¿cuántos grados de libertad paramétricos posee su conjunto solución?

Practica

Ceros que dicen mucho

Dos ejercicios más y el desafío de las rutas. Antes de despejar, lee la última fila de la tabla escalonada.

Ejercicio 3: los combos del momento animado

Con los combos 1 + 1 + 1 = $6.000, 2 + 1 + 3 = $10.000 y 3 + 2 + 4 = $16.000 (empanada, jugo y pandebono, en miles: x, y, z), ¿cuál de estas listas de precios no cumple los tres combos?

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): clasificar por la última fila

Un sistema 3 × 3 escalonado quedó con las filas $[1,\ 1,\ 1 \mid 6]$ , $[0,\ 1,\ 2 \mid 5]$ y $[0,\ 0,\ 0 \mid 3]$ . ¿Cómo es el sistema?

Desafío tipo PISA y Saber 11: Optimización de Flota y Redundancia de Rutas

Una central de despachos urbanos modela los tiempos de viaje de tres corredores logísticos. Al culminar el escalonamiento de Gauss, la matriz resultante exhibe:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 10 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$
¿Qué diagnóstico operativo debe reportar el ingeniero a cargo?