54. Aplicación de Gauss a sistemas dependientes e independientes

Aprende a identificar la naturaleza de un sistema analizando el rango y las filas nulas resultantes del método de Gauss.

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Sistemas Independientes (SCD)

Un sistema es Independiente cuando cada ecuación aporta información nueva y no contradictoria. Al aplicar Gauss, obtenemos una estructura "escalonada" donde podemos hallar el valor de cada variable sin ambigüedades.

La Señal del Éxito:

Si el número de filas no nulas es igual al número de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado.

Práctica: Identificación

EJERCICIO 1.1

Tras Gauss, obtienes la fila [0,0,3∣9][0, 0, 3 | 9]. ¿Cuánto vale zz?

Ver solución

La fila significa 3z=93z = 9, por lo tanto z=3z = 3.

EJERCICIO 1.2

¿Qué significa que un sistema sea "Independiente"?

Ver respuesta

Que ninguna ecuación puede obtenerse combinando las demás. Cada una es una restricción única.

Detector de Soluciones

Analiza la última fila de la matriz tras el proceso de Gauss.

Sistema Compatible Determinado

Cada variable tiene un valor único. La matriz llega a una forma escalonada perfecta.

Fila Resultante

[001∣5][0 \quad 0 \quad 1 \quad | \quad 5]
z=5z = 5

Sistemas Dependientes e Incompatibles

A veces, el proceso de Gauss revela que el sistema no es lo que parece. Las filas pueden "desaparecer" o "romperse".

Dependencia (SCI)

Aparece una fila [0,0,0∣0][0, 0, 0 | 0]. Significa que una ecuación era redundante. Hay infinitas soluciones.

Incompatibilidad (SI)

Aparece una fila [0,0,0∣k][0, 0, 0 | k] con k≠0k \neq 0. Es una contradicción. No hay solución.

Práctica: Casos Especiales

EJERCICIO 2.1

Si en un sistema de 3x3 obtienes dos filas de ceros [0,0,0∣0][0, 0, 0 | 0], ¿qué tipo es?

Ver respuesta

Es un SCI con dos grados de libertad (las soluciones dependen de dos parámetros).

EJERCICIO 2.2

¿Qué tipo de sistema es {x+y=1, 2x+2y=5}\{ x+y=1, \ 2x+2y=5 \}?

Ver respuesta

Al aplicar Gauss, R2−2R1R_2 - 2R_1 da [0,0∣3][0, 0 | 3]. Es Incompatible (SI).

Desafío PISA

El Misterio de las Rutas de Entrega

Una empresa de logística diseña tres rutas (A,B,CA, B, C) para cubrir una ciudad. Al analizar los tiempos de entrega, el sistema de Gauss arroja la siguiente matriz final:

(12−11001350000)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 10 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
¿Qué conclusión debe sacar el gerente de logística sobre estas rutas?

Opción A

Las rutas son perfectas y hay un único horario posible.

Opción B

Una ruta es redundante; hay infinitas formas de organizar los tiempos.

Opción C

El plan es imposible de cumplir; las rutas chocan entre sí.

Ver Informe de Logística

Análisis de la Matriz:

La tercera fila es [0,0,0∣0][0, 0, 0 | 0]. Esto indica que la tercera ecuación era una combinación de las dos primeras.

El sistema es Compatible Indeterminado (SCI).

Respuesta Correcta: B

El gerente tiene flexibilidad total: puede fijar el tiempo de una ruta (por ejemplo, la ruta C) y las otras dos se ajustarán automáticamente.