53. Método de Gauss: transformaciones elementales

Para empezar

Tres combos en la tienda escolar

La tienda del colegio vende tres combos (precios hipotéticos):

1 empanada, 1 jugo y 1 pandebono: $6.000.
2 empanadas, 1 jugo y 3 pandebonos: $10.000.
1 empanada, 2 jugos y 2 pandebonos: $10.000.

¿Cuánto vale cada cosa? Son tres ecuaciones con tres incógnitas. Sustituir a mano se enreda rápido; el método de Gauss ordena el trabajo en una tabla y la va llenando de ceros hasta que las respuestas se leen de abajo hacia arriba.

Momento animado

Las filas se transforman

Reproduce y mira cómo cada operación pone un cero debajo de la diagonal sin cambiar los precios que buscamos.

R₁1116

R₂21310

R₃12210

Avance del métodoTabla inicial

Etapas

Etapa 1 de 5 · La tabla

Cada combo es una fila: cuántas empanadas (x), jugos (y) y pandebonos (z) lleva y, después de la raya, cuánto cuesta en miles de pesos.

El sistema que dice la tabla ahora

\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x + y + 3z &= 10 \\ x + 2y + 2z &= 10 \end{aligned}

De Ecuaciones a Matrices Aumentadas

El método de Gauss deja de escribir las letras y trabaja solo con los números, ordenados en una tabla llamada matriz aumentada $[A \mid B]$ : cada fila es una ecuación y cada columna, una incógnita.

Sistema

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases}

Matriz aumentada

\left( \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -3 & 6 \end{array} \right)

Ejercicio 1: armar la matriz aumentada

En un sistema 3 × 3, una ecuación es $2x + 5z = 9$ . ¿Qué va en la columna de $y$ ?

Concepto Clave

"La matriz aumentada es el sistema sin letras: cada fila es una ecuación y cada columna, siempre la misma incógnita."

Las Tres Operaciones Elementales de Fila

Estas tres operaciones cambian el sistema por otro que tiene exactamente las mismas soluciones:

1. Intercambio

Cambiar de lugar dos filas ( $R_i \leftrightarrow R_j$ ).

2. Escalamiento

Multiplicar una fila por un número $k \neq 0$ ( $k R_i$ ).

3. Eliminación

Sumarle a una fila un múltiplo de otra ( $R_i + k R_j$ ).

Ejercicio 2: una operación de fila

Con $R_1 = [1,\ 2,\ 3 \mid 3]$ y $R_2 = [2,\ 5,\ 1 \mid 1]$ , ¿qué fila da $R_2 - 2R_1$ ?

Ejemplo resuelto

Un sistema 3 × 3, fila por fila

Resolvamos $x + 2y + z = 8$ , $2x + y - z = 1$ y $3x - y + 2z = 7$ .

1
Escribir la matriz aumentada
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 7 \end{array}\right)$
2
Ceros en la columna de x
R₂ − 2R₁ y R₃ − 3R₁. El pivote es el 1 de arriba.
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & -3 & -3 & -15 \\ 0 & -7 & -1 & -17 \end{array}\right)$
3
Simplificar la segunda fila
Se divide R₂ entre −3 (escalamiento).
$[0,\ 1,\ 1 \mid 5]$
4
Cero en la columna de y
R₃ + 7R₂: −7 + 7 = 0, −1 + 7 = 6 y −17 + 35 = 18.
$[0,\ 0,\ 6 \mid 18]$
5
Despejar de abajo hacia arriba
6z = 18 da z = 3; y + 3 = 5 da y = 2; x + 4 + 3 = 8 da x = 1.
$(x, y, z) = (1, 2, 3)$

Comprobación en las ecuaciones originales: $1 + 4 + 3 = 8$ , $2 + 2 - 3 = 1$ y $3 - 2 + 6 = 7$ .

Laboratorio Matricial de Gauss

Generación sistemática de ceros por transformaciones elementales de fila.

Operación Elemental Activa

\text{Matriz Aumentada } [A \mid B]

-1

Fase 0: Matriz Aumentada Inicial

Condensamos las ecuaciones en una cuadrícula de coeficientes numéricos separados del vector de términos independientes.

Practica

Filas, pivotes y ceros

Cuatro ejercicios más. Haz las cuentas en tu cuaderno antes de escoger: cada opción equivocada sale de un error que de verdad se comete.

Ejercicio 3 (tipo Saber 11): la planta de ensamble

Una planta ensambla tres tipos de piezas ( $x, y, z$ ) y su producción por hora cumple:

\begin{cases} x + y + z = 100 & (R_1) \\ 2x + 3y + z = 220 & (R_2) \\ x + 2y + 4z = 250 & (R_3) \end{cases}

Para borrar la x de la segunda fila se hace $R_2 - 2R_1$ . ¿Qué fila resulta?

Ejercicio 4: de abajo hacia arriba

Después de escalonar, un sistema quedó así. ¿Cuál es su solución?

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + 2z = 8 \\ 3z = 9 \end{cases}

Ejercicio 5: escoger la operación

Con el pivote $R_1 = [3,\ 1,\ 2 \mid 5]$ , ¿qué operación pone un 0 en la primera casilla de $R_3 = [6,\ -2,\ 1 \mid 4]$ ?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): una fila rara

Al escalonar un sistema 3 × 3 la última fila queda $[0,\ 0,\ 0 \mid 5]$ . ¿Qué se concluye?