53. Método de Gauss: transformaciones elementales

Aprende a sistematizar la resolución de sistemas mediante matrices y operaciones de fila para alcanzar la forma escalonada.

Estudiar en la plataforma interactiva

De Ecuaciones a Matrices

El primer paso del método de Gauss es "limpiar" el sistema. En lugar de escribir x,y,zx, y, z repetidamente, extraemos solo los coeficientes y los términos independientes en una matriz aumentada.

Sistema

{2x+y=5x−3y=6\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases}

Matriz Aumentada

(2151−36)\left( \begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -3 & 6 \end{array} \right)
Práctica: Construcción

EJERCICIO 1.1

¿Cuál es la matriz aumentada de {x−y=0, 2x+y=3}\{ x - y = 0, \ 2x + y = 3 \}?

Ver respuesta
(1−10213)\left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)

EJERCICIO 1.2

Si una ecuación es x+z=4x + z = 4, ¿qué valor va en la columna de yy?

Ver respuesta

Va un 0, ya que la variable yy no está presente (su coeficiente es cero).

Concepto Clave

"La matriz aumentada resume toda la información del sistema en una cuadrícula numérica."

Las Reglas del Juego

Para resolver el sistema, podemos transformar la matriz usando tres movimientos legales que no alteran la solución:

Intercambiar

Cambiar el orden de dos filas (Ri↔RjR_i \leftrightarrow R_j).

Escalar

Multiplicar una fila por un número distinto de cero (k⋅Rik \cdot R_i).

Combinar

Sumar a una fila el múltiplo de otra (Ri+k⋅RjR_i + k \cdot R_j).

Práctica: Operaciones

EJERCICIO 2.1

Si R1=[1,2,3]R_1 = [1, 2, 3] y R2=[2,5,1]R_2 = [2, 5, 1], ¿cuál es el resultado de R2−2R1R_2 - 2R_1?

Ver solución

[2−2(1),5−2(2),1−2(3)]=[0,1,−5][2-2(1), 5-2(2), 1-2(3)] = [0, 1, -5].

EJERCICIO 2.2

¿Por qué es útil intercambiar filas en Gauss?

Ver respuesta

Para colocar un 1 en la posición del pivote (esquina superior izquierda), lo que facilita los cálculos posteriores.

Visualizador de Gauss

Observa cómo las transformaciones crean ceros estratégicos.

1
1
1
|
6
2
-1
1
|
3
1
2
-1
|
2
InicioInicio

Sistema Original: Convertimos las ecuaciones en una matriz aumentada, eliminando las letras para enfocarnos en los números.

Desafío PISA

Optimización de Producción

Una fábrica produce tres tipos de componentes electrónicos. El proceso requiere tiempo en tres máquinas diferentes. El sistema de ecuaciones que modela las horas disponibles es:

{x+y+z=1002x+3y+z=220x+2y+4z=250\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + z = 220 \\ x + 2y + 4z = 250 \end{cases}
Si aplicas la operación R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 a la matriz aumentada, ¿cuál será la nueva segunda fila?

Opción A[0,1,−1∣20][0, 1, -1 | 20]
Opción B[0,1,−1∣20][0, 1, -1 | 20]
Opción C[0,5,3∣420][0, 5, 3 | 420]
Ver Transformación

Cálculo Paso a Paso:

  • Fila 2 original: [2,3,1∣220][2, 3, 1 | 220]
  • Doble de Fila 1: 2⋅[1,1,1∣100]=[2,2,2∣200]2 \cdot [1, 1, 1 | 100] = [2, 2, 2 | 200]
  • Resta: [2−2,3−2,1−2∣220−200][2-2, 3-2, 1-2 | 220-200]
  • Resultado: [0,1,−1∣20][0, 1, -1 | 20]

Respuesta Correcta: B

Esta operación ha eliminado con éxito la variable xx de la segunda ecuación, simplificando el sistema.