52. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Comprende la confluencia espacial de tres planos y domina la eliminación en cascada para resolver problemas 3 × 3.

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Para empezar

La esquina del salón

Mira una esquina de tu salón: el piso y dos paredes son tres planos, y se encuentran en un solo punto. Una ecuación con tres incógnitas, como x+y+z=6x + y + z = 6, también es un plano, y resolver un sistema de tres de ellas es encontrar el punto donde se cruzan los tres.

Dibujar planos en el cuaderno es difícil. El truco es mirar el espacio por pisos: a cada altura, cada plano deja una recta, y eso sí sabemos dibujarlo.

Momento animado

El triángulo que se cierra

Reproduce: se mira el sistema piso por piso. Busca la altura en la que las tres rectas pasan por un mismo punto.

Trazas de los tres planos a la altura z = 0. Cortes: (3; 3), (10; -4) y (1,6; 0,2).−20246−3−2−101234567
  • E1: x + y = 6 − z
  • E2: 2x − y = 3 − z
  • E3: x + 2y = 2 + z
  • Rastro de los cortes
z = 0
Etapas

Etapa 1 de 4 · Un piso

Cada ecuación es un plano. A una altura z fija, cada plano deja una recta en el piso. Con z = 0 las tres rectas forman un triángulo: no hay un punto que esté en las tres.

Altura

z = 0

el piso que se mira

Cortes de las rectas

Tres

forman un triángulo
  • E1 con E2: (3; 3)
  • E1 con E3: (10; -4)
  • E2 con E3: (1,6; 0,2)

De Rectas a Planos en el Espacio

Al agregar una tercera variable (zz), abandonamos el plano y nos trasladamos a ℝ³. Cada ecuación lineal representa un plano continuo e infinito.

Analogía Espacial

Considera el vértice de una habitación: el suelo y las dos paredes ortogonales son tres planos independientes. Su único punto en común es la esquina: la solución única (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0).

Forma Cartesiana General
aix+biy+ciz=dia_i x + b_i y + c_i z = d_i

Vector normal: (a, b, c)

Ejercicio 1: Topología de Ecuaciones Lineales en ℝ³

¿Qué objeto geométrico representa la ecuación ax+by+cz=dax + by + cz = d en el espacio tridimensional?

Concepto Clave

"Un sistema 3 × 3 busca el punto común donde tres planos espaciales se cruzan simultáneamente."

Ejemplo resuelto

Bajar de tres incógnitas a dos

Resolvamos x+y+z=9x + y + z = 9 (E1), x−y+z=3x - y + z = 3 (E2) y 2x+y−z=32x + y - z = 3 (E3) eliminando la z en dos parejas.

  1. 1

    E1 + E3: se va la z

    3x+2y=123x + 2y = 12
  2. 2

    E2 + E3: se va la z (y también la y)

    3x=6  ⇒  x=23x = 6 \;\Rightarrow\; x = 2
  3. 3

    Volver a la primera pareja

    3⋅2+2y=12  ⇒  y=33 \cdot 2 + 2y = 12 \;\Rightarrow\; y = 3
  4. 4

    Subir a la z con E1

    2+3+z=9  ⇒  z=42 + 3 + z = 9 \;\Rightarrow\; z = 4
  5. 5

    Comprobar en las tres

    E1: 2 + 3 + 4 = 9. E2: 2 − 3 + 4 = 3. E3: 4 + 3 − 4 = 3.

La solución es (2,3,4)(2, 3, 4). En las dos parejas se eliminó la misma incógnita, la z: por eso quedó un sistema 2 × 2 en x y y.

Laboratorio Espacial 3D: Intersección de Planos

Explora las configuraciones relativas de 3 planos y el algoritmo de cascada.

(1, 2, 3)
Compatible Determinado: Intersección en 1 punto único
Algoritmo de Descenso Dimensional
Fase 1: Sistema 3 × 3 Original

Tres ecuaciones con tres incógnitas que imponen tres planos independientes en el espacio ℝ³.

{x+y+z=6(E1)2x−y+z=3(E2)x+2y−z=2(E3)\begin{cases} x + y + z = 6 \quad (E_1) \\ 2x - y + z = 3 \quad (E_2) \\ x + 2y - z = 2 \quad (E_3) \end{cases}

Elegimos eliminar z sumando parejas con coeficientes opuestos (+1 y -1).

Fase 2: Colapso a Sistema 2 × 2

Combinamos parejas fijando la eliminación de la misma variable z en ambos pares.

{(E1+E3):2x+3y=8(E2+E3):3x+y=5\begin{cases} (E_1 + E_3): 2x + 3y = 8 \\ (E_2 + E_3): 3x + y = 5 \end{cases}
Fase 3: Sustitución Regresiva

Resolvemos el 2 × 2 multiplicando la 2ª ecuación por -3 y sumando: -7x = -7 ⇒ x = 1, luego y = 2.

x=1,y=2  ⟹  1+2+z=6  ⟹  z=3x = 1, \quad y = 2 \implies 1 + 2 + z = 6 \implies z = 3

El Algoritmo de Descenso Dimensional

El método estándar consiste en reducir el problema original de dimensión 3 a un sub-problema de dimensión 2 que ya sabemos resolver:

Regla de Oro de la Cascada:

Al combinar dos pares de ecuaciones (ej: Ec.1 con Ec.2, y Ec.1 con Ec.3), debes eliminar exactamente la misma incógnita en ambas combinaciones para garantizar que el sistema resultante sea de 2x2.

Ejercicio 2: Regla de Consistencia en Reducción Escalonada

Al reducir un sistema 3x3 a un sub-sistema 2x2 mediante reducción por pares, ¿qué principio es ineludible?

Practica

Tres incógnitas, paso a paso

Dos ejercicios más y el desafío de la nutrición. Comprueba siempre la terna en las tres ecuaciones.

Ejercicio 3: de abajo hacia arriba
¿Cuál es la solución de {x+y+z=6, y+z=5, z=3}\{ x + y + z = 6,\ y + z = 5,\ z = 3 \}?
Ejercicio 4: una pareja que elimina la z
En el sistema del momento animado, ¿qué ecuación queda al sumar x+y+z=6x + y + z = 6 y x+2y−z=2x + 2y - z = 2?
Desafío tipo PISA y Saber 11: Logística de Nutrientes y Rendimiento Olímpico

Un atleta requiere exactamente 20 g de Proteína, 40 g de Carbohidratos y 12 g de Grasas. Cuenta con tres alimentos formulados por porción:

• Alimento A: 2 g de proteína, 5 g de carbohidratos, 1 g de grasa.
• Alimento B: 4 g de proteína, 2 g de carbohidratos, 2 g de grasa.
• Alimento C: 1 g de proteína, 6 g de carbohidratos, 1 g de grasa.

¿Cuántas porciones de cada uno (x,y,zx, y, z) debe integrar en su plan?