52. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Domina el método de eliminación para resolver sistemas 3x3 y comprende su significado geométrico como la intersección de planos.

Estudiar en la plataforma interactiva

De Rectas a Planos

En un sistema de 3x3, cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. La solución es el punto (x,y,z)(x, y, z) donde los tres planos se cortan simultáneamente.

Visualización

Imagina la esquina de tu habitación: el suelo es un plano, una pared es otro y la pared contigua es el tercero. El punto donde los tres se tocan es la solución única.

Forma Estándar
ax+by+cz=dax + by + cz = d

Ecuación de un plano

Práctica: Conceptos 3D

EJERCICIO 1.1

¿Qué representa geométricamente la ecuación x+y+z=0x + y + z = 0?

Ver respuesta

Representa un plano que pasa por el origen (0,0,0)(0, 0, 0) en el espacio tridimensional.

EJERCICIO 1.2

Si dos planos son paralelos, ¿cuántas soluciones tiene el sistema 3x3?

Ver respuesta

Tiene cero soluciones, ya que para que haya solución, los tres planos deben tocarse en un punto común.

Concepto Clave

"Un sistema 3x3 busca el punto de encuentro común de tres planos en el espacio."

Estrategia de Cascada

Mira cómo reducimos dimensiones para vencer al sistema.

Paso 1: El Sistema Original (3x3)

Tenemos tres ecuaciones con x, y, z. El objetivo es eliminar una variable para simplificar.

{x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=2\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}

Elegimos eliminar 'z' porque tiene coeficientes 1 y -1.

Paso 2: Reducción a 2x2

Combinamos las ecuaciones por parejas para eliminar la misma variable en ambas.

{(E1+E3):2x+3y=8(E2+E3):3x+y=5\begin{cases} (E1 + E3): 2x + 3y = 8 \\ (E2 + E3): 3x + y = 5 \end{cases}
Paso 3: Resolución Final

Resolvemos el 2x2 para hallar dos variables y luego sustituimos en el original.

x=1, y=2, z=3x = 1, \ y = 2, \ z = 3

El Algoritmo de Resolución

Resolver un sistema 3x3 es como pelar una cebolla: vamos quitando capas (variables) hasta llegar al centro.

Regla de Oro de la Reducción:

Al pasar de 3 ecuaciones a 2, debes eliminar la misma variable en ambos pares. Si eliminas zz usando la Ec. 1 y 2, también debes eliminar zz usando la Ec. 2 y 3.

Práctica: Algoritmo

EJERCICIO 2.1

En un sistema 3x3, tras eliminar zz, obtienes x=2,y=3x=2, y=3. Si la Ec. 1 es x+y+z=10x+y+z=10, ¿cuánto vale zz?

Ver solución

Sustituimos: 2+3+z=10⇒5+z=10⇒z=52 + 3 + z = 10 \Rightarrow 5 + z = 10 \Rightarrow z = 5.

EJERCICIO 2.2

¿Qué método es preferible si una ecuación es x=2y−zx = 2y - z?

Ver respuesta

El método de Sustitución, ya que xx ya está despejada en términos de las otras dos variables.

Desafío PISA

Logística de Nutrientes

Un atleta necesita consumir exactamente 20g de Proteína, 30g de Carbohidratos y 10g de Grasas en una comida. Dispone de tres alimentos con las siguientes composiciones por porción:

  • Alimento A: 2g Prot, 5g Carb, 1g Grasa.
  • Alimento B: 4g Prot, 2g Carb, 2g Grasa.
  • Alimento C: 1g Prot, 6g Carb, 1g Grasa.

¿Cuántas porciones de cada alimento (x,y,zx, y, z) debe mezclar?

Opción A

x: 2, y: 3, z: 4

Opción B

x: 2, y: 3, z: 4 (Verificar sistema)

Opción C

x: 3, y: 2, z: 6

Ver Análisis Nutricional

Sistema de Ecuaciones:

{2x+4y+1z=20 (Prot)5x+2y+6z=30 (Carb)1x+2y+1z=10 (Grasa)\begin{cases} 2x + 4y + 1z = 20 \text{ (Prot)} \\ 5x + 2y + 6z = 30 \text{ (Carb)} \\ 1x + 2y + 1z = 10 \text{ (Grasa)} \end{cases}

Restando la Ec. 3 de la Ec. 1:

(2x−x)+(4y−2y)+(z−z)=20−10⇒x+2y=10(2x-x) + (4y-2y) + (z-z) = 20-10 \Rightarrow x + 2y = 10

Resolviendo el sistema reducido, obtenemos que la combinación exacta es x=2, y=3, z=4.

Respuesta Correcta: B

El atleta debe consumir 2 porciones de A, 3 de B y 4 de C.