51. Sistemas de ecuaciones no lineales

Aprende a resolver sistemas donde al menos una de las ecuaciones es de segundo grado o superior, encontrando múltiples puntos de intersección.

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La Estrategia Maestra: Sustitución

En los sistemas no lineales, el método de sustitución es casi siempre el más efectivo. Al despejar una variable en la ecuación lineal e introducirla en la no lineal, transformamos el sistema en una sola ecuación (usualmente cuadrática).

¡Cuidado con las soluciones!

Al resolver sistemas no lineales, es común obtener una ecuación de segundo grado. Esto significa que podrías encontrar dos valores para x, y por lo tanto, dos puntos de solución distintos.

Práctica: Sustitución No Lineal

EJERCICIO 1.1

Resuelve: {y=x2, y=4}\{ y = x^2, \ y = 4 \}

Ver solución

x2=4⇒x=±2x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.

Soluciones: (2, 4) y (-2, 4).

EJERCICIO 1.2

Sustituye y=x+1y = x + 1 en x2+y2=5x^2 + y^2 = 5.

Ver proceso

x2+(x+1)2=5x^2 + (x+1)^2 = 5

x2+x2+2x+1=5⇒2x2+2x−4=0x^2 + x^2 + 2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 4 = 0

Explorador No Lineal

Visualiza cómo las curvas rompen la linealidad.

Sistema

{y=x2y=x+2\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}

Soluciones Reales

(−1,1) y (2,4)(-1, 1) \text{ y } (2, 4)
Un sistema de segundo grado puede tener hasta 2 soluciones reales.

Geometría de los Encuentros

A diferencia de las rectas que solo pueden cortarse una vez, las curvas permiten escenarios más complejos:

Secantes

La recta atraviesa la curva en dos puntos.

Tangentes

La recta "toca" la curva en un solo punto sin atravesarla.

Exteriores

No hay puntos comunes. El sistema no tiene soluciones reales.

Práctica: Análisis Visual

EJERCICIO 2.1

¿Cuántas soluciones tiene el sistema {x2+y2=1, y=2}\{ x^2 + y^2 = 1, \ y = 2 \}?

Ver respuesta

Cero. Un círculo de radio 1 no puede ser tocado por una recta horizontal en y=2y=2.

EJERCICIO 2.2

Si un sistema de una recta y una parábola tiene una sola solución, ¿cómo se llama esa recta?

Ver respuesta

Se llama recta tangente a la parábola.

Desafío PISA

El Radar y la Trayectoria

Un radar costero detecta barcos dentro de un radio de 5 km, modelado por la ecuación x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. Un barco sigue una ruta recta definida por x+y=7x + y = 7.

¿En qué puntos entra y sale el barco del rango del radar?

Opción A

(3, 4) y (4, 3)

Opción B

No hay intersección (el barco no entra al rango).

Opción C

(0, 7) y (7, 0)

Analizar Señal de Radar

Resolución Algebraica:

  1. Despejamos yy de la ruta: y=7−xy = 7 - x.
  2. Sustituimos en el radar: x2+(7−x)2=25x^2 + (7 - x)^2 = 25.
  3. Expandimos: x2+49−14x+x2=25x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25.
  4. Simplificamos: 2x2−14x+24=0⇒x2−7x+12=02x^2 - 14x + 24 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 = 0.
  5. Factorizamos: (x−3)(x−4)=0(x - 3)(x - 4) = 0.

Respuesta Correcta: B

Aunque el álgebra da soluciones (3 y 4), debemos verificar si el barco realmente entra. Si x=3,y=4x=3, y=4, la distancia al origen es 32+42=5\sqrt{3^2+4^2}=5. Sin embargo, la ruta x+y=7x+y=7 está siempre a una distancia mínima de ≈4.95\approx 4.95. ¡Espera! Re-calculando: La distancia mínima de la recta al origen es 7/2≈4.957/\sqrt{2} \approx 4.95. Como 4.95<54.95 < 5, el barco SÍ entra brevemente. La respuesta correcta es la A.