51. Sistemas de ecuaciones no lineales

Aprende a resolver sistemas donde intervienen polinomios de segundo grado o cónicas, descubriendo múltiples puntos de tangencia o secancia.

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Para empezar

¿Dónde hay señal?

Muchos parques tienen zonas wifi gratuitas. Imagina una antena con alcance de 50 m (un dato hipotético) y tú caminando por un sendero recto. ¿En qué punto entras a la señal y en cuál sales?

Con la antena en el origen y una unidad igual a 10 m, la señal llega hasta la circunferencia x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 y el sendero es una recta como x+y=7x + y = 7. Es un sistema con una ecuación de segundo grado: puede tener dos soluciones, una o ninguna. Míralo antes de resolverlo.

Momento animado

Los cortes que se juntan

Reproduce: arriba el sendero se aleja de la antena; abajo, la ecuación que sale al sustituir. Mira que sus raíces caen justo debajo de los cortes.

Circunferencia de radio 5 y recta x + y = 0: 2 puntos de corte.−6−4−20246−6−5−4−3−2−10123456Resolvente 2x² − 2Cx + C² − 25 con C = 0: 2 raíces reales.−6−4−20246−30−20−100102030
  • Señal: x² + y² = 25
  • Sendero: x + y = C
  • Abajo: 2x² − 2Cx + C² − 25
C = 0
Etapas

Etapa 1 de 5 · Por la antena

La señal cubre un círculo de radio 5 (50 m). El sendero x + y = 0 pasa por la antena: entra y sale de la señal en dos puntos. Abajo, la ecuación que sale al sustituir tiene dos raíces: las x de esos puntos.

El sendero

C = 0

x+y=Cx + y = C

Discriminante

Δ = 200,00

Δ=200−4C2\Delta = 200 - 4C^2

Dos cortes: (≈−3,54; ≈3,54)(\approx -3{,}54;\ \approx 3{,}54) y (≈3,54; ≈−3,54)(\approx 3{,}54;\ \approx -3{,}54)

La Estrategia Maestra: Sustitución Cuadrática

En los sistemas no lineales mixtos (lineal + cuadrático), el método de sustitución es el estándar analítico. Se aísla la variable de grado 1 en la ecuación lineal y se introduce dentro de la cuadrática.

Teorema Fundamental del Número de Soluciones

Por el Teorema de Bézout, la intersección de una curva algebraica de grado 1 (recta) con una de grado 2 (parábola, elipse o hipérbola) tiene como máximo 2 soluciones reales.

Ejercicio 1: Sistemas Cuadrático-Lineales Básicos
¿Cuáles son las soluciones reales del sistema {y=x2, y=4}\{ y = x^2, \ y = 4 \}?

Concepto Clave

"La sustitución colapsa el sistema no lineal en una ecuación cuadrática resuelta mediante fórmula general o factorización."

Ejemplo resuelto

¿Dónde entra y sale la señal?

Resolvamos x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 con x+y=7x + y = 7 por sustitución.

  1. 1

    Despejar en la ecuación lineal

    y=7−xy = 7 - x
  2. 2

    Sustituir en la circunferencia

    (7 − x)² = 49 − 14x + x².
    x2+49−14x+x2=25x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25
  3. 3

    Ordenar y simplificar

    Se resta 25 y se divide entre 2.
    x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0
  4. 4

    Resolver la cuadrática

    Se factoriza: dos números que multiplicados dan 12 y sumados 7.
    (x−3)(x−4)=0(x - 3)(x - 4) = 0
  5. 5

    Hallar cada y

    Con y = 7 − x: si x = 3, y = 4; si x = 4, y = 3. Comprobación: 9 + 16 = 25 y 16 + 9 = 25.
    (3,4) y (4,3)(3, 4) \text{ y } (4, 3)

La señal empieza en (3,4)(3, 4) y termina en (4,3)(4, 3). Entre esos puntos hay 1+1≈1,41\sqrt{1 + 1} \approx 1{,}41 unidades: unos 14 m de sendero con wifi.

Laboratorio

Curvas no lineales y una recta que se mueve

Mueve la recta: secante (2 puntos), tangente (1 punto) o exterior (0 puntos).

Circunferencia de radio 5 y la recta con C = 7. Δ > 0: la recta es secante. Corta a la curva en dos puntos.−6−4−20246−6−4−20246
  • x2+y2=25x^2 + y^2 = 25
  • x+y=7x + y = 7

Δ > 0: la recta es secante. Corta a la curva en dos puntos.

2x2−2Cx+(C2−25)=0,Δ=200−4C2=42x^2 - 2Cx + (C^2 - 25) = 0,\quad \Delta = 200 - 4C^2 = 4

Punto 1: (3; 4)(3;\ 4)

Punto 2: (4; 3)(4;\ 3)

C = 7

Con la circunferencia de radio 5: si |C| < 5√2 ≈ 7,07 hay 2 cortes; si |C| = 5√2 la recta es tangente; y si |C| > 5√2 pasa por fuera.

Geometría del Discriminante

El signo del discriminante Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac en la ecuación resolvente clasifica la interacción geométrica:

Secante (Δ > 0)

La recta cruza la curva en dos puntos distintos.

Tangente (Δ = 0)

La recta toca la curva en un único punto de contacto.

Exterior (Δ < 0)

Sin contacto en el plano real. 0 soluciones reales.

Ejercicio 2: Existencia de Soluciones y Discriminante
¿Cuántas soluciones reales tiene el sistema {x2+y2=1, y=2}\{ x^2 + y^2 = 1, \ y = 2 \}?
Practica

Dos, uno o ningún corte

Dos ejercicios más y el desafío del radar. Sustituye y mira el discriminante antes de despejar.

Ejercicio 3: una recta y una parábola
¿Cuántos puntos comunes tienen y=x2y = x^2 y y=2x−1y = 2x - 1?
Ejercicio 4 (tipo Saber 11): ¿desde qué altura?
La recta horizontal y=ky = k corta a la parábola y=x2+1y = x^2 + 1 en dos puntos exactamente cuando…
Desafío tipo PISA y Saber 11

El Radar Marítimo y la Trayectoria Rectilínea

Una estación de guardacostas opera un radar circular con radio de cobertura de 5 km, centrado en el origen: x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. Un carguero navega en línea recta siguiendo la ruta x+y=7x + y = 7.

Detección de Radar
¿En qué puntos de coordenadas entra y sale el navío del radio de escaneo del radar?