50. Clasificación de sistemas: compatibles e incompatibles

Sistemas Compatibles: Cuando hay Solución

Un sistema es Compatible si tiene al menos una solución. Dependiendo de cuántas tenga, se divide en dos categorías:

Determinado (SCD)

Tiene una única solución. Las pendientes de las rectas son diferentes.

m_1 \neq m_2

Indeterminado (SCI)

Tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones son equivalentes (la misma recta).

0 = 0

Práctica: Compatibilidad

EJERCICIO 1.1

Clasifica: $\{ x+y=2, \ 3x+3y=6 \}$

Ver análisis

Si multiplicas la primera por 3, obtienes la segunda. Son la misma recta. SCI (Infinitas soluciones).

EJERCICIO 1.2

¿Qué ocurre si al resolver llegas a $x=5, y=2$ ?

Ver respuesta

El sistema es Compatible Determinado (SCD) porque hallaste una solución única.

Analizador de Sistemas

Compara las proporciones de los coeficientes.

Compatible Determinado

Las rectas se cruzan en un único punto.

Condición Algebraica

\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

Ejemplo Típico

\begin{cases} {2x + 3y = 8 \atop 1x - 4y = 5} \end{cases}

Sistemas Incompatibles: El Callejón sin Salida

Un sistema es Incompatible (SI) cuando no existe ningún par $(x, y)$ que cumpla ambas ecuaciones. Geométricamente, esto significa que las rectas son paralelas.

La Señal de Alerta

Si al intentar resolver el sistema por cualquier método llegas a una contradicción matemática como $0 = 7$ o $-1 = 4$ , el sistema es Incompatible.

Práctica: Incompatibilidad

EJERCICIO 2.1

¿Por qué $\{ x+y=5, \ x+y=8 \}$ es incompatible?

Ver explicación

Porque la suma de dos números no puede ser 5 y 8 al mismo tiempo. Al restar las ecuaciones obtendrías $0 = -3$ , lo cual es falso.

EJERCICIO 2.2

Si $a_1/a_2 = b_1/b_2$ , ¿qué tipos de sistema podrían ser?

Ver respuesta

Podría ser SCI (si la tercera razón también es igual) o SI (si la tercera razón es diferente).

Desafío PISA

Competencia de Mensajería

Dos empresas de mensajería tienen las siguientes tarifas mensuales:

Empresa A: $y = 0.5x + 20$ (donde $x$ son los km).
Empresa B: $y = 0.5x + 35$ .

Un cliente busca el punto donde ambas empresas cobren lo mismo para decidir cuál contratar. ¿Qué tipo de sistema forman estas tarifas y qué significa para el cliente?

Opción A

SCD: Hay un kilometraje donde cuestan igual.

Opción B

SI: Nunca costarán lo mismo; una siempre es más cara.

Opción C

SCI: Ambas empresas cobran siempre lo mismo.

Ver Análisis de Mercado

Análisis de Pendientes:

Ambas ecuaciones tienen la misma pendiente $m = 0.5$ , pero diferentes ordenadas al origen ( $20$ vs $35$ ).

Esto significa que las rectas son paralelas. El sistema es Incompatible.

Respuesta Correcta: B

Para el cliente, esto significa que la Empresa A siempre será $15 más barata que la B, sin importar cuántos kilómetros recorra.