50. Clasificación de sistemas: compatibles e incompatibles

Para empezar

¿Cuándo tendrán lo mismo?

Sara y Tomás ahorran para el paseo de fin de año (un ejemplo con números redondos). Sara tiene $20.000 y Tomás $35.000, y cada uno guarda $5.000 por semana. ¿En qué semana tendrán lo mismo?

En ninguna: los dos suben al mismo ritmo, así que Tomás siempre lleva $15.000 más. Sus rectas tienen la misma pendiente y nunca se cruzan. Un sistema puede tener una solución, ninguna o infinitas. Míralo moverse antes de ver los criterios.

Momento animado

Cortarse, ser paralelas o coincidir

Reproduce y sigue el punto de corte: mira qué le pasa cuando las pendientes se igualan.

y = x + 1 (fija)
y = m x + b (se mueve)

Movimiento de la recta rojam = -1,00; b = -1,00

Etapas

Etapa 1 de 5 · Se cortan

Dos rectas con pendientes distintas: 1 y −1. Se cortan en un solo punto, (−1; 0). El sistema tiene una solución.

Pendiente de la roja

m = -1,00

y = -x - 1

Determinante

D = -2,00

D = m − 1

Una solución: $(-1;\ 0)$

Sistemas Compatibles: Cuando Existe Solución

Un sistema es compatible cuando tiene al menos una solución ( $S \neq \emptyset$ ).

Determinado (SCD)

Una sola solución: las rectas tienen distinta inclinación y se cortan en un punto.

\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}

Indeterminado (SCI)

Infinitas soluciones: las dos ecuaciones son la misma recta.

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

Ejercicio 1: una ecuación es múltiplo de la otra

Clasifica el sistema $\{ x + y = 2,\ 3x + 3y = 6 \}$ .

Concepto Clave

"Las razones entre los coeficientes dicen cuántas soluciones hay sin despejar ni graficar."

Laboratorio

Criterio de los coeficientes

Compara $a_1/a_2$ , $b_1/b_2$ y $c_1/c_2$ y mira las dos rectas.

Ecuación 1: $2x + 3y = 8$
Ecuación 2: $x - 4y = 5$

Compatible determinado (SCD): una solución

D ≠ 0: las rectas tienen distinta inclinación y se cortan en un solo punto.

Solución: $(\frac{47}{11};\ -\frac{2}{11})$

\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{1} = 2

\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{3}{-4} = -0{,}75

\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6

D = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 2 \cdot (-4) - 1 \cdot 3 = -11

Si $a_1/a_2 \neq b_1/b_2$ , hay una solución; si son iguales, las rectas son paralelas o la misma. Cuando un denominador es 0 no se puede dividir: entonces se mira $D$ , que dice lo mismo sin dividir ( $D \neq 0$ es una solución).

Ecuación 1

a₁ (de la ecuación 1)2

b₁ (de la ecuación 1)3

c₁ (de la ecuación 1)8

Ecuación 2

a₂ (de la ecuación 2)1

b₂ (de la ecuación 2)-4

c₂ (de la ecuación 2)5

Sistemas Incompatibles: Paralelismo y Contradicción

Un sistema es incompatible (SI) cuando sus condiciones no se pueden cumplir a la vez: son rectas paralelas distintas.

Condición de incompatibilidad

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

Ejercicio 2: cuando sale una igualdad falsa

Al aplicar reducción a un sistema 2 × 2 se llega a $0 = -3$ . ¿Qué se concluye?

Ejemplo resuelto

Los ahorros de Sara y Tomás

Con $x$ las semanas y $y$ el dinero ahorrado, en miles de pesos:

1
Escribir las dos rectas
$\begin{aligned} S(x) &= 20 + 5x \\ T(x) &= 35 + 5x \end{aligned}$
2
Igualar
Se resta 5x a los dos lados y la x desaparece.
$\begin{aligned} 20 + 5x &= 35 + 5x \\ 20 &= 35 \end{aligned}$
3
Leer el resultado
La igualdad es falsa para cualquier semana: el sistema es incompatible. Las rectas tienen la misma pendiente (5.000 por semana) y distinto corte.
4
Cambiar una pendiente
Si Sara guardara $8.000 por semana, las pendientes serían distintas y habría un cruce.
$\begin{aligned} 20 + 8x &= 35 + 5x \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 \end{aligned}$

En la semana 5 los dos tendrían $60.000: 20.000 + 8.000 · 5 = 60.000 y 35.000 + 5.000 · 5 = 60.000. Es lo que muestra el momento animado: mientras las pendientes son distintas, hay un corte.

Practica

Una, ninguna o infinitas

Cuatro ejercicios más. Los tres últimos son del libro Matemáticas para un mundo sostenible (capítulo 2). Antes de resolver, pregúntate: ¿las pendientes son iguales? ¿Y los cortes?

Ejercicio 3 (tipo Saber 11): dos transportadoras

Dos transportadoras cobran, en miles de pesos, según los kilómetros $x$ del envío: la primera, $y = 0{,}5x + 20$ ; la segunda, $y = 0{,}5x + 35$ . Una tienda busca la distancia en la que las dos cobran lo mismo. ¿Qué tipo de sistema forman?

Ejercicio 4: ¿cuántas soluciones?

¿Cuántas soluciones tiene $\{ 2x + y = 3,\ 4x + 2y = 8 \}$ ?

Ejercicio 5: misma pendiente, ¿mismo corte?

¿Cuántas soluciones tiene $\{ x - 2y = 1,\ 3x - 6y = 3 \}$ ?

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): argumentación

¿Cuántas soluciones tiene el sistema formado por $y = 3x + 1$ y $6x - 2y = 4$ ?