49. Métodos de sustitución, igualación y reducción

1. Método de Sustitución

Ideal cuando una de las incógnitas es fácil de despejar (tiene coeficiente 1 o -1). Consiste en "inyectar" el valor de una variable dentro de la otra ecuación.

Algoritmo de Sustitución:

Despeja una variable en la ecuación más sencilla.
Sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.
Resuelve la ecuación de primer grado resultante.
Calcula la otra variable usando el valor hallado.

Práctica de Sustitución

EJERCICIO 1.1

Resuelve: $\{ x = 2y, \ x + y = 9 \}$

Ver solución

Sustituimos $x$ : $(2y) + y = 9 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3$ .

Luego $x = 2(3) = 6$ . Solución: $(6, 3)$ .

EJERCICIO 1.2

Despeja $y$ en $3x - y = 5$ para sustituir.

Ver solución

$-y = 5 - 3x \Rightarrow y = 3x - 5$ .

2. Método de Igualación

Este método es excelente cuando ambas ecuaciones presentan la misma variable despejada o fácil de despejar. Se basa en el principio de transitividad: si $A = B$ y $A = C$ , entonces $B = C$ .

"Si dos expresiones son iguales a una misma tercera, son iguales entre sí."

Práctica de Igualación

EJERCICIO 2.1

Iguala para resolver: $\{ y = 3x - 1, \ y = x + 5 \}$

Ver solución

$3x - 1 = x + 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ .

Sustituyendo: $y = 3 + 5 = 8$ . Solución: $(3, 8)$ .

EJERCICIO 2.2

¿Qué variable es más fácil igualar en $\{ 2x + y = 10, \ 5x - y = 4 \}$ ?

Ver respuesta

La variable $y$ , ya que en ambas tiene coeficiente 1 (o -1).

Selector de Estrategia

¿Qué método usarías para estos sistemas?

Método Recomendado: Sustitución

Una variable ya está despejada. Elegir este camino reduce la probabilidad de errores aritméticos y ahorra tiempo.

3. Método de Reducción (Suma y Resta)

Es el método más potente y el preferido para sistemas complejos. El objetivo es eliminar una variable sumando o restando las ecuaciones, tras haber igualado sus coeficientes mediante multiplicaciones.

El Truco del Coeficiente

Si quieres eliminar $x$ , multiplica la primera ecuación por el coeficiente de $x$ de la segunda, y viceversa. ¡No olvides los signos!

Práctica de Reducción

EJERCICIO 3.1

Suma directamente: $\{ 2x + y = 10, \ 3x - y = 5 \}$

Ver solución

$(2x + 3x) + (y - y) = 10 + 5 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$ .

Sustituyendo: $2(3) + y = 10 \Rightarrow y = 4$ .

EJERCICIO 3.2

¿Por qué número multiplicarías $x + 2y = 5$ para eliminar $x$ si la otra es $3x - y = 4$ ?

Ver respuesta

Por $-3$ , para que al sumar $-3x + 3x$ se cancelen.

Desafío PISA

Química de Mezclas

Un laboratorio necesita preparar 100 ml de una solución ácida al 25%. Para ello, dispone de dos botellas: una solución al 10% y otra al 30%.

Si $x$ es la cantidad de la solución al 10% e $y$ la cantidad al 30%, ¿cuántos ml de cada una debe mezclar?

Opción A

x: 50ml, y: 50ml

Opción B

x: 30ml, y: 70ml

Opción C

x: 25ml, y: 75ml

Ver Análisis Químico

Planteamiento del Sistema:

Volumen total: $x + y = 100$
Concentración: $0.10x + 0.30y = 0.25(100)$
Simplificando la 2: $x + 3y = 250$ (multiplicando por 10).
Restando (3) - (1): $2y = 150 \Rightarrow y = 75$ .
Por lo tanto: $x = 25$ .

Respuesta Correcta: C

Se requieren 25 ml de la solución débil y 75 ml de la fuerte.