49. Métodos de sustitución, igualación y reducción

Para empezar

El abono de la huerta del colegio

En la huerta del colegio quieren 50 kg de abono con 4% de nitrógeno. Tienen compost con 2% de nitrógeno y un abono comprado con 10% (datos hipotéticos, del libro Matemáticas para un mundo sostenible). ¿Cuántos kilogramos de cada uno deben mezclar?

Hay dos condiciones, el peso total y el nitrógeno total, y dos incógnitas. Eso es un sistema 2 × 2. Esta lección te da tres maneras de resolverlo: sustitución, igualación y reducción. Las tres cambian el sistema por otro más fácil sin cambiar su solución. Mira en el momento animado por qué eso es cierto en la reducción.

Momento animado

Sumar ecuaciones gira la recta

Reproduce y mira la recta verde: es la suma de las dos ecuaciones y nunca suelta el punto de corte.

2x + 3y = 12
x − y = 1
La suma (gira)

Recorrido de la reducciónk = 0,00

Etapas

Etapa 1 de 5 · Dos rectas

Cada ecuación es una recta. Se cortan en (3, 2): ese punto cumple las dos ecuaciones a la vez.

El factor k

0,00

1.ª + k · 2.ª

Coeficiente de y

3,00

3 − k

Con k = 0, la suma es la primera ecuación

2x + 3y = 12

Con (3, 2): $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ , que es el lado derecho.

1. Método de Sustitución

Es la estrategia natural cuando una de las variables tiene coeficiente 1 o −1: se despeja sin que aparezcan fracciones.

Los pasos:

Despeja la variable con el coeficiente más sencillo en cualquiera de las ecuaciones.
Reemplaza esa expresión en la otra ecuación.
Resuelve la ecuación que queda, que ya tiene una sola incógnita.
Reemplaza el valor obtenido para hallar la segunda incógnita.

Ejercicio 1: sustitución

Resuelve por sustitución: $\{ x = 2y,\ x + y = 9 \}$

Concepto Clave

"Sustituir es reemplazar una incógnita por lo que vale según la otra ecuación: queda una ecuación con una sola incógnita."

Ejemplo resuelto

La mezcla de la huerta, por sustitución

Sean $x$ los kilogramos de compost y $y$ los de abono comprado. El 4% de 50 kg son 2 kg de nitrógeno.

1
Plantear el sistema
Peso total y nitrógeno total.
$\begin{cases} x + y = 50 \\ 0{,}02x + 0{,}10y = 2 \end{cases}$
2
Despejar x en la primera
$x = 50 - y$
3
Sustituir en la segunda
$0{,}02(50 - y) + 0{,}10y = 2$
4
Simplificar y despejar y
0,02 · 50 = 1 y −0,02y + 0,10y = 0,08y.
$\begin{aligned} 1 + 0{,}08y &= 2 \\ y &= \tfrac{1}{0{,}08} = 12{,}5 \end{aligned}$
5
Hallar x y comprobar
Comprobación del nitrógeno: 0,02 · 37,5 + 0,10 · 12,5 = 0,75 + 1,25 = 2 kg.
$x = 50 - 12{,}5 = 37{,}5$

Hay que mezclar 37,5 kg de compost con 12,5 kg de abono comprado.

2. Método de Igualación

Se basa en que dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí ( $A=C \land B=C \implies A=B$ ).

Conviene cuando las dos ecuaciones ya vienen despejadas, como $y = m_1x + b_1$ e $y = m_2x + b_2$ : pasa al comparar dos planes de pago, como los de las bicicletas de la lección anterior.

Selector Estratégico y Simulador

Identifica el camino más eficiente y ejecútalo paso a paso.

Sistema 1: Variable Aislada

x = 3y - 1

2x + 5y = 20

Estrategia ÓptimaSustitución

¿Por qué este método? La variable 'x' ya está completamente despejada en la primera ecuación.

Resolución Paso a Paso (1 de 4)

Paso 1: Inyección

Sustituimos la expresión de x (3y - 1) en la segunda ecuación.

2(3y - 1) + 5y = 20

3. Método de Reducción (Suma y Resta)

Se multiplican las ecuaciones por números convenientes y se suman, para que una incógnita desaparezca. Es el método que, ordenado en tablas, se convierte en el método de Gauss.

Ejercicio 2: el paso más rápido

Para resolver $\{ 2x + 3y = 12,\ 5x - y = 13 \}$ por reducción, ¿cuál es el paso más rápido?

Practica

Mezclas, bombillos y sistemas

Cuatro ejercicios más; los tres últimos son del libro Matemáticas para un mundo sostenible (capítulo 2, sección 2.6). Escoge el método que te ahorre más cuentas.

Ejercicio 3 (tipo Saber 11): la mezcla del laboratorio

En el laboratorio del colegio hay que preparar 100 ml de una solución de vinagre al 25%. Hay dos frascos: uno al 10% y otro al 30%. ¿Cuánto se toma de cada uno?

Ejercicio 4: una incógnita ya despejada

Resuelve $\{ 3x + 2y = 16,\ x = y + 2 \}$ .

Ejercicio 5: reducción

Resuelve $\{ 4x - 3y = 1,\ 2x + 5y = 33 \}$ .

Ejercicio 6: los bombillos del colegio

Un colegio compra 30 bombillos LED, unos de 9 W a $8.000 y otros de 15 W a $12.000 (datos hipotéticos), y gasta $288.000. ¿Cuántos compró de cada uno?