48. Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas

Domina los métodos para encontrar el punto de equilibrio donde dos condiciones lineales se encuentran.

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¿Qué es un Sistema 2x2?

Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 es un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas (usualmente xx e yy) que deben satisfacerse al mismo tiempo.

Forma General

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Resolver el sistema significa encontrar el par ordenado (x,y)(x, y) que, al ser sustituido en ambas ecuaciones, las convierta en igualdades verdaderas.

Práctica: Verificación

EJERCICIO 1.1

¿Es el punto (2,1)(2, 1) solución de {x+y=3, 2x−y=3}\{ x+y=3, \ 2x-y=3 \}?

Verificar

1. 2+1=32 + 1 = 3 (Correcto)

2. 2(2)−1=3⇒4−1=32(2) - 1 = 3 \Rightarrow 4 - 1 = 3 (Correcto)

Sí, es solución.

EJERCICIO 1.2

En el sistema {x−y=5, x+y=10}\{ x-y=5, \ x+y=10 \}, ¿cuánto vale xx si sumamos ambas ecuaciones?

Ver solución

(x−y)+(x+y)=5+10(x-y) + (x+y) = 5 + 10

2x=15⇒x=7.52x = 15 \Rightarrow x = 7.5

Concepto Clave

"Un sistema 2x2 busca el punto común entre dos restricciones lineales."

Laboratorio de Métodos

Explora cómo cada método aborda el mismo problema desde una perspectiva diferente.

Estrategias de Resolución

Diferentes caminos para llegar al mismo destino.

1

Despeja una variable en una ecuación.

2

Sustituye esa expresión en la otra ecuación.

3

Resuelve la ecuación de una variable resultante.

Aplicación en vivo

y=5−x⇒2x−(5−x)=4⇒3x=9⇒x=3y = 5 - x \Rightarrow 2x - (5 - x) = 4 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3

Interpretación Geométrica

Al graficar dos rectas en el plano, pueden ocurrir tres escenarios que definen el tipo de sistema:

Compatible Determinado

Las rectas se cortan en un punto. Hay una solución única.

Incompatible

Las rectas son paralelas. No hay solución.

Compatible Indeterminado

Las rectas son la misma. Infinitas soluciones.

Práctica: Análisis

EJERCICIO 2.1

¿Qué tipo de sistema es {y=2x+1, y=2x−5}\{ y=2x+1, \ y=2x-5 \}?

Ver respuesta

Ambas tienen la misma pendiente (m=2m=2) pero diferente ordenada. Son paralelas. Incompatible (Sin solución).

EJERCICIO 2.2

Resuelve por sustitución: {x=2y, x+y=6}\{ x=2y, \ x+y=6 \}

Ver solución

(2y)+y=6⇒3y=6⇒y=2(2y) + y = 6 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2

x=2(2)=4x = 2(2) = 4

Solución: (4, 2)

Desafío PISA

El Dilema del Cine

En un cine, una familia paga $46 por 2 boletos de adulto y 3 de niño. Otra familia paga $34 por 2 boletos de adulto y 1 de niño.

¿Cuál es el precio de un boleto de adulto (AA) y uno de niño (NN)?

Opción A

A: $12, N: $8

Opción B

A: $14, N: $6

Opción C

A: $15, N: $5

Revelar Razonamiento

Modelado del Sistema:

{2A+3N=462A+1N=34\begin{cases} 2A + 3N = 46 \\ 2A + 1N = 34 \end{cases}

Usando Reducción (restamos las ecuaciones):

(2A−2A)+(3N−1N)=46−34(2A - 2A) + (3N - 1N) = 46 - 342N=12⇒N=62N = 12 \Rightarrow N = 6

Sustituyendo N=6N=6 en la segunda:

2A+6=34⇒2A=28⇒A=142A + 6 = 34 \Rightarrow 2A = 28 \Rightarrow A = 14

Respuesta Correcta: B

El boleto de adulto cuesta $14 y el de niño $6.