48. Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas

Bogotá y Medellín tienen bicicletas públicas. Imagina una ciudad con dos maneras de pagarlas (tarifas hipotéticas, tomadas del libro Matemáticas para un mundo sostenible):

• Plan A: $25.000 de membresía al mes y $500 por viaje.
• Plan B: sin membresía, pero cada viaje cuesta $2.950.

Si $x$ es el número de viajes del mes, los costos son $A(x) = 25\,000 + 500x$ y $B(x) = 2\,950x$. Cada plan es una recta. ¿Desde cuántos viajes conviene el plan A? Antes de hacer cuentas, mira cómo crecen las dos rectas.

Como las dos expresiones dan el costo, se igualan (método de igualación):

1. 1

   Igualar los dos costos

   En el cruce, los dos planes cuestan lo mismo.

   $$25\,000 + 500x = 2\,950x$$
2. 2

   Pasar los términos en x a un lado

   Se resta 500x a los dos lados.

   $$25\,000 = 2\,450x$$
3. 3

   Despejar x

   Se divide entre 2.450.

   $$x = \frac{25\,000}{2\,450} \approx 10{,}2$$
4. 4

   Volver a la situación: 10 viajes

   Los viajes son enteros, así que se comparan 10 y 11 viajes. Con 10, todavía es más barato B.

   $$\begin{aligned} A(10) &= 30\,000 \\ B(10) &= 29\,500 \end{aligned}$$
5. 5

   Con 11 viajes

   Con 11 ya es más barato A.

   $$\begin{aligned} A(11) &= 30\,500 \\ B(11) &= 32\,450 \end{aligned}$$

Con 10 viajes todavía gana B; con 11 ya gana A. Desde 11 viajes al mes conviene el plan A.

Cuatro ejercicios más. Los tres primeros son del libro Matemáticas para un mundo sostenible (capítulo 2, sección 2.6). Si fallas, lee por qué: cada opción equivocada sale de un error que de verdad se comete.