47. Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Aprende a resolver sistemas de inecuaciones encontrando la intersección de sus conjuntos solución, tanto gráfica como algebraicamente.

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La Lógica del 'Y'

Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más desigualdades que deben cumplirse simultáneamente. La clave es la palabra "y". La solución no es la de una o la otra, sino la de ambas a la vez.

El Proceso de 3 Pasos
  1. Resolver por separado: Encuentra el conjunto solución para cada inecuación de forma individual.
  2. Representar gráficamente: Dibuja cada solución en su propia recta numérica.
  3. Encontrar la intersección: La solución final es la región donde todas las soluciones se superponen.
Práctica: Identificación

EJERCICIO 1.1

¿Cuál es la intersección de x>3x > 3 y x≤8x \leq 8?

Ver solución

La región común son los números mayores que 3 y menores o iguales a 8. Solución: (3,8](3, 8].

EJERCICIO 1.2

Resuelve el sistema: {2x<10, x+1>0}\{ 2x < 10, \ x+1 > 0 \}

Ver solución

1. 2x<10⇒x<52x < 10 \Rightarrow x < 5

2. x+1>0⇒x>−1x+1 > 0 \Rightarrow x > -1

Intersección: (−1,5)(-1, 5)

Concepto Clave

"La solución de un sistema de inecuaciones es la INTERSECCIÓN de los conjuntos solución individuales."

Laboratorio de Intersecciones

Selecciona diferentes escenarios para ver cómo la superposición de dos condiciones define la solución final del sistema.

Laboratorio de Intersecciones

Visualiza la solución de un sistema

Condición 1

x>−2x > -2(−2,∞)(-2, \infty)

Condición 2

x≤3x \leq 3(−∞,3](-\infty, 3]

Solución del Sistema (Intersección)

−2<x≤3-2 < x \leq 3(−2,3](-2, 3]

La solución es la región donde ambas condiciones son verdaderas simultáneamente.

Casos Especiales

No todos los sistemas tienen una solución que sea un simple intervalo. A veces, las condiciones son contradictorias o una de ellas es redundante.

Solución Vacía (∅\emptyset)

Ocurre cuando no hay solapamiento. Por ejemplo, x<0x < 0 y x>2x > 2. No hay ningún número que sea a la vez negativo y mayor que 2.

Condición Redundante

Ocurre cuando una condición ya está incluida en la otra. Por ejemplo, x>5x > 5 y x>1x > 1. Si un número es mayor que 5, automáticamente es mayor que 1. La condición más restrictiva (x>5x > 5) es la solución.

Práctica: Casos Especiales

EJERCICIO 2.1

Resuelve: {3x−1>8, x<3}\{ 3x - 1 > 8, \ x < 3 \}

Ver solución

1. 3x>9⇒x>33x > 9 \Rightarrow x > 3

2. x<3x < 3

No hay números que sean a la vez '>3> 3' y '<3< 3'. Solución: ∅\emptyset.

EJERCICIO 2.2

Resuelve: {x≥−2, x≥0}\{ x \geq -2, \ x \geq 0 \}

Ver solución

La condición x≥0x \geq 0 es más restrictiva. Si x≥0x \geq 0, automáticamente se cumple x≥−2x \geq -2.

Solución: [0,∞)[0, \infty).

Desafío PISA

Control de Calidad en Farmacia

Una máquina envasa un medicamento en polvo. Para que un lote sea aprobado, el peso PP (en gramos) de cada envase debe cumplir dos condiciones:

  • Condición 1: El peso debe estar entre 4.95g y 5.05g, inclusive.
  • Condición 2: El doble del peso menos 9.92g debe ser estrictamente mayor que cero.
¿Qué intervalo de pesos es aceptable para el control de calidad?

Opción A[4.95,5.05][4.95, 5.05]
Opción B(4.96,∞)(4.96, \infty)
Opción C(4.96,5.05](4.96, 5.05]
Ver Análisis de Lote

Traducción a Inecuaciones:

  1. Condición 1: 4.95≤P≤5.054.95 \leq P \leq 5.05. Esto es el intervalo [4.95,5.05][4.95, 5.05].
  2. Condición 2: 2P−9.92>02P - 9.92 > 0.
  3. Resolviendo la 2: 2P>9.92⇒P>4.962P > 9.92 \Rightarrow P > 4.96. Esto es el intervalo (4.96,∞)(4.96, \infty).
  4. Intersección: Buscamos los números en [4.95,5.05][4.95, 5.05] que también estén en (4.96,∞)(4.96, \infty).

Respuesta Correcta: C

La región común empieza en 4.96 (abierto) y termina en 5.05 (cerrado). El intervalo es (4.96,5.05](4.96, 5.05].