47. Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Para empezar

Ni muy frío ni muy caliente

La mayoría de las vacunas se guardan entre 2 °C y 8 °C: por encima se dañan y por debajo se pueden congelar. Esa es una condición doble: la temperatura tiene que cumplir $T \geq 2$ y, a la vez, $T \leq 8$ . Cuando varias inecuaciones se cumplen al mismo tiempo, se tiene un sistema, y su solución es la parte común.

Momento animado

Dos condiciones a la vez

Dale a reproducir o arrastra la barra. Mira qué queda cuando se juntan las dos regiones.

Primera
Segunda
Las dos a la vez

AvanceEtapa 1 de 4

Etapas

Etapa 1 de 4 · La primera

2x - 1 > 3

x > 2

: se ilumina todo lo que está a la derecha del 2, sin el 2.

La Lógica del 'Y' Simultáneo

Un sistema de inecuaciones consiste en dos o más desigualdades que deben satisfacerse al mismo tiempo. La solución de un sistema no es la unión de lo que cumple cada una por separado, sino su intersección geométrica en la recta numérica.

El Algoritmo Canónico de 3 Fases

Resolver independientemente: Despeja cada inecuación por separado hasta obtener sus intervalos solución individuales.
Trazar en paralelo: Representa cada conjunto en su propia recta numérica alineada.
Calcular la intersección: Sombrea únicamente la franja vertical donde todas las condiciones se cumplen a la vez ( $A \cap B$ ).

Concepto Clave

"La solución de un sistema de inecuaciones es la INTERSECCIÓN estricta de todos los conjuntos solución individuales."

Laboratorio de Intersección Visual Simultánea

El conector lógico "Y" exige la superposición estricta de las soluciones.

Condición 1:

x > -2

(-2, \infty)

Condición 2:

x \leq 3

(-\infty, 3]

Solución Final (Intersección A ∩ B):

-2 < x \leq 3

(-2, 3]

La región común comprende exactamente los puntos donde ambas líneas se solapan.

Casos Notables: Vacío y Redundancia

Existen dos situaciones de frontera lógica que aparecen constantemente en exámenes de ingreso:

Solución Vacía ( $S = \emptyset$ )

Ocurre cuando las regiones son disyuntas (por ejemplo, $x < 1 \land x > 4$ ). No existe ningún número real que habite ambos intervalos al mismo tiempo.

Condición Redundante

Ocurre cuando un intervalo está contenido dentro del otro (por ejemplo, $x > 0 \land x > 5$ ). La condición más restrictiva absorbe a la otra, quedando $(5, \infty)$ .

Ejemplo resuelto: la nevera apagada

Una nevera de vacunas está a 3 °C y, si se apaga, se calienta 1,5 °C por hora (dato de ejemplo): $T = 3 + 1{,}5\,h$ . ¿Cuántas horas puede estar apagada sin salirse de 2 °C a 8 °C?

1
Escribir el sistema
$2 \leq 3 + 1{,}5\,h \leq 8$
2
Restar 3 a las tres partes
$-1 \leq 1{,}5\,h \leq 5$
3
Dividir entre 1,5, que es positivo
El sentido se conserva.
$-\tfrac{2}{3} \leq h \leq \tfrac{10}{3}$
4
Juntar con lo que tiene sentido
El tiempo desde que se apaga cumple h ≥ 0. Lo común es 0 ≤ h ≤ 10/3: hasta unas 3,3 horas, es decir, 3 horas y 20 minutos.

Ejercicios: sistemas de inecuaciones

Cinco ejercicios. Si fallas, la explicación te dice qué se torció.

Ejercicio 1: la parte común

¿Cuál es el conjunto solución del sistema

2x < 10

x + 1 > 0

Ejercicio 2: sin parte común

¿Cuál es la solución del sistema

3x - 1 > 8

x < 3

Ejercicio 3: control de calidad (tipo PISA)

Un envase de un medicamento en polvo pasa la inspección si su peso

P

en gramos cumple a la vez

4{,}95 \leq P \leq 5{,}05

2P - 9{,}92 > 0

. ¿Qué pesos se aprueban?

Ejercicio 4: la nevera apagada

La mayoría de las vacunas se guardan entre 2 °C y 8 °C. Una nevera está a 3 °C y, si se apaga, se calienta 1,5 °C por hora (dato de ejemplo):

T = 3 + 1{,}5\,h

. ¿Cuántas horas puede estar apagada sin salirse del rango?

Ejercicio 5: con un extremo incluido

Resuelve el sistema

3x + 1 \geq 7

5 - x > 0