46. Inecuaciones racionales | Álgebra (Fundamentos)

No Multipliques a Ciegas

En una ecuación como $\frac{1}{x} = 2$ , podemos pasar la $x$ multiplicando. Pero en una inecuación como $\frac{1}{x} < 2$ , ¡ESTÁ PROHIBIDO!

¿Por qué falla?

Porque no sabemos si $x$ es positivo o negativo.

Si $x$ es positivo, el signo $<$ se mantiene.
Si $x$ es negativo, el signo $<$ debería cambiar a $>$ .

Como $x$ es una variable, no podemos decidir qué hacer.

El Método Correcto

Pasa todo a un lado para que quede $0$ en el otro.
Suma/resta las fracciones (común denominador).
Analiza los signos del numerador y denominador.

Ejemplo Visual

En lugar de $\frac{1}{x} < 2$ , escribimos:

\frac{1}{x} - 2 < 0 \Rightarrow \frac{1 - 2x}{x} < 0

Práctica: Preparación

EJERCICIO 1.1

Reescribe $\frac{3}{x+1} \geq 2$ correctamente para analizarla.

Ver paso a paso

1. Restar 2: $\frac{3}{x+1} - 2 \geq 0$

2. Común denominador: $\frac{3 - 2(x+1)}{x+1} \geq 0$

3. Simplificar: $\frac{1 - 2x}{x+1} \geq 0$

EJERCICIO 1.2

¿Cuál es la restricción de dominio (el valor prohibido) en $\frac{x}{x-5} < 1$ ?

Ver respuesta

El denominador no puede ser cero.

Restricción: $x \neq 5$ .

Concepto Clave

"Nunca multipliques una inecuación por una expresión que contenga la incógnita, a menos que estés seguro de que es estrictamente positiva."

Explorador de Polos

Observa cómo el denominador provoca un cambio brusco de signo (o una "explosión" hacia el infinito) en el punto donde se hace cero.

La Zona Prohibida

Analiza el signo de $\frac{1}{x - 2}$

Asíntota (x=2)

Denominador

(x - 2)

0.50

EstadoPositivo

x = 0x = 2x = 4

Ceros y Polos

Para resolver $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$ , buscamos dos tipos de puntos críticos:

Los Ceros (Numerador)

Donde $P(x) = 0$ .

Estos puntos SÍ pueden ser parte de la solución si la desigualdad es cerrada ( $\leq, \geq$ ).

Los Polos (Denominador)

Donde $Q(x) = 0$ .

Estos puntos NUNCA se incluyen (siempre llevan paréntesis), porque la división por cero no existe.

Práctica: Resolución Completa

EJERCICIO 2.1

Resuelve: $\frac{x-3}{x+2} \leq 0$

Ver solución

1. Cero (Num): $x=3$ (Cerrado, corchete).

2. Polo (Den): $x=-2$ (Abierto, paréntesis).

3. Signos: $(+)/(-) = -$ entre -2 y 3.

Sol: $(-2, 3]$

EJERCICIO 2.2

Resuelve: $\frac{1}{x} > 1$

Ver solución

1. Forma estándar: $\frac{1-x}{x} > 0$ .

2. Puntos críticos: 0 y 1.

3. Prueba 0.5: $(0.5)/(0.5) = +$ .

Sol: $(0, 1)$

Desafío PISA

Costo Promedio de Producción

Una fábrica de microchips tiene un costo fijo mensual de $2000 y un costo de producción de $5 por cada chip. El costo promedio por unidad $C(x)$ al producir $x$ unidades es:

C(x) = \frac{2000 + 5x}{x}

El gerente necesita que el costo promedio sea menor a $10 por unidad para ser competitivo. ¿Cuántas unidades mínimas deben producirse (número entero)?

Opción AMás de 200

Opción BMás de 400

Opción CMenos de 400

Ver Análisis Económico

Resolución:

Planteamos: $\frac{2000 + 5x}{x} < 10$ .
Como $x$ es número de unidades, sabemos que $x > 0$ . ¡Aquí SÍ podemos multiplicar por $x$ porque es positivo! (Excepción a la regla general por contexto físico).
$2000 + 5x < 10x$ .
$2000 < 5x$ .
$400 < x$ .

Respuesta Correcta: B

Se deben producir más de 400 unidades (es decir, al menos 401) para bajar el costo promedio de $10.