46. Inecuaciones racionales

Aprende a manejar desigualdades con fracciones algebraicas, identificando polos, ceros y evitando el error común de multiplicar por la incógnita.

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Para empezar

¿Cuántas camisetas para que salgan baratas?

Para estampar camisetas se paga una vez la plancha, $150.000, y luego $12.000 por camiseta (precios de ejemplo). Con nn camisetas, cada una sale a 150 000+12 000 nn\frac{150\,000 + 12\,000\,n}{n}. ¿Desde cuántas cada una cuesta menos de $15.000? La incógnita quedó en el denominador, y ahí hay que tener cuidado: no se puede dividir entre 0 ni multiplicar sin saber el signo.

Momento animado

Un cociente que se rompe

Mira la sombra a cada lado de x = −2, donde el denominador vale 0.

Curva de (x − 1)/(x + 2) con su sombra en el eje−6−4−2024−6−3036
  • Cumple
  • No cumple
  • No está definida
Etapa 1 de 4
Etapas

Etapa 1 de 4 · Recorrer la curva

Un punto recorre y=x−1x+2y = \frac{x - 1}{x + 2}. Al llegar a x=−2x = -2 la curva se rompe: ahí el denominador vale 0 y el cociente no existe.

Con x = −6: el valor es 1,75. Cumple.

No Multipliques a Ciegas por la Variable

En una igualdad como 1x=2\frac{1}{x} = 2, podemos pasar la incógnita multiplicando sin vacilar. Sin embargo, en una inecuación como 1x<2\frac{1}{x} < 2, la multiplicación cruzada directa está terminantemente prohibida.

¿Por qué falla la intuición?

Porque desconocemos el signo algebraico de la variable xx:

  • Si x>0x > 0, el símbolo de orden << se mantiene.
  • Si x<0x < 0, el símbolo de orden << se invierte obligatoriamente a >>.

Al no tener certeza del signo, cualquier multiplicación cruzada destruye la validez lógica del conjunto solución.

Protocolo Sistemático de Resolución
  1. Transponer todos los términos a un miembro para igualar a cero (⋯<0\dots < 0).
  2. Reducir a común denominador unificando en una sola fracción irreducible.
  3. Identificar por separado los ceros del numerador y los polos del denominador.
  4. Construir la tabla de signos o recta de intervalos.
Conversión Canónica

En lugar de multiplicar 1x<2\frac{1}{x} < 2, restamos el 2:

1x−2<0  ⟺  1−2xx<0\frac{1}{x} - 2 < 0 \iff \frac{1 - 2x}{x} < 0

Concepto Clave

"Nunca multipliques una inecuación por una expresión que contenga la incógnita sin tener garantía matemática de que es estrictamente positiva."

Laboratorio

Laboratorio de ceros y polos

Mueve el valor de prueba y mira el signo de cada factor y el del resultado.

Caso 1: cero cerrado y polo abierto

x−3x+2≤0\dfrac{x - 3}{x + 2} \leq 0

Gráfica de caso 1: cero cerrado y polo abierto con sus zonas de signo; valor de prueba x = 0,5−4−20246−6−4−20246+−+polocero

Zona verde (+): la curva va por encima del eje x. Zona roja (−): va por debajo. La línea punteada es el polo: ahí el cociente no existe.

x = 0,5

Numerador

x−3x - 3

-2,5

(−) negativo

Denominador

x+2x + 2

2,5

(+) positivo

El cociente en x = 0,5

-1

Signo (−)

x = 0,5 cumple la inecuación.

Cero en x = 3: se incluye, porque la desigualdad admite el igual. Polo en x = −2: nunca se incluye, porque ahí se dividiría entre 0.

Solución: x∈(−2, 3]x \in (-2,\ 3]

El polo nunca se incluye. El cero sí, porque la desigualdad admite el igual.

Ceros vs Polos Asintóticos

Para resolver cualquier inecuación racional canónica P(x)Q(x)≤0\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, separamos el análisis en dos naturalezas de puntos críticos:

Los Ceros (Numerador: P(x) = 0)

Hacen que la fracción completa valga exactamente 0.

SÍ pueden formar parte de la solución con corchete cerrado si la inecuación incluye igualdad (≤,≥\leq, \geq).

Los Polos (Denominador: Q(x) = 0)

Provocan una división entre cero indefinida.

NUNCA pueden formar parte de la solución (siempre llevan paréntesis abierto), independientemente del símbolo de la inecuación.

Ejemplo resuelto: un cociente mayor o igual a cero

Resuelve x−1x+2≥0\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0.

  1. 1

    Ceros del numerador y del denominador

    El numerador se anula en 1 (puede entrar) y el denominador en −2 (nunca entra).
    x=1,x≠−2x = 1, \quad x \neq -2
  2. 2

    Probar un número en cada tramo

    Con x = −3: (−4)/(−1) = 4. Con x = 0: (−1)/2 = −0,5. Con x = 2: 1/4 = 0,25.
  3. 3

    Quedarse con los positivos y el cero

    (−∞, −2)∪[1, ∞)(-\infty,\ -2) \cup [1,\ \infty)
  4. 4

    Volver a las camisetas

    Ahí n es positivo, así que sí se puede multiplicar sin voltear: 150.000 + 12.000n < 15.000n, o sea n > 50. Desde 51 camisetas.

Ejercicios: inecuaciones racionales

Cinco ejercicios. Si fallas, la explicación te dice qué se torció.

Ejercicio 1: no multiplicar por x
¿Por qué no se puede multiplicar directamente por xx los dos lados de 1x<2\frac{1}{x} < 2?
Ejercicio 2: menor o igual a cero
¿Cuál es el conjunto solución de x−3x+2≤0\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0?
Ejercicio 3: el precio por camiseta
Estampar camisetas cuesta $150.000 de la plancha más $12.000 por camiseta (precios de ejemplo). Con nn camisetas, cada una sale a 150 000+12 000 nn\frac{150\,000 + 12\,000\,n}{n} pesos. ¿Cuántas hay que hacer, como mínimo, para que cada una salga a menos de $15.000?
Ejercicio 4: menor que cero
Resuelve x+3x−2<0\frac{x + 3}{x - 2} < 0.
Ejercicio 5: pasar todo a un lado
Resuelve 1x−1>2\frac{1}{x - 1} > 2.