45. Inecuaciones polinómicas de grado superior

Para empezar

¿Qué cortes dan más de un litro?

Con una cartulina de 20 cm por 30 cm, recortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina, sale una caja de volumen $x(20 - 2x)(30 - 2x)$ . En la lección de ecuaciones polinómicas viste que da justo 1.000 cm³ con $x = 5$ o con $x \approx 2{,}93$ . Pero la pregunta útil es otra: ¿qué cortes dan más de un litro? Eso es una inecuación de tercer grado, y se resuelve mirando dónde cambia de signo.

Momento animado

El signo cambia en cada raíz

Dale a reproducir o arrastra la barra. La sombra del punto dice dónde el producto es positivo.

Cumple
No cumple

AvanceEtapa 1 de 4

Etapas

Etapa 1 de 4 · Recorrer la curva

Un punto recorre

y = (x + 2)(x - 1)(x - 3)

. Donde la curva está por encima del eje, el producto es positivo y la sombra se pinta de verde.

Con x = −3: el valor es −24. No cumple.

Divide y Vencerás: De Grado n a Factores Lineales

Cuando el grado del polinomio es 3 o mayor (por ejemplo $x^3 - 4x^2 + x > 0$ ), no podemos despejar la incógnita de forma aislada. La estrategia matemática canónica consiste en transformar el polinomio en un producto de factores irreducibles comparados con cero.

Homogeneizar a Cero

Traslada todos los términos a un solo miembro para que el otro extremo sea estrictamente $0$ ( $P(x) > 0$ o $P(x) \leq 0$ ).

Descomposición Factorial

Aplica factor común monomio, identidades notables o la Regla de Ruffini para desarmar el polinomio en binomios $(x - r)$ .

Concepto Clave

"Un polinomio de grado n posee hasta n raíces reales. Estas raíces son las únicas 'puertas' donde el signo de la curva puede alternar."

Laboratorio de Multiplicidad de Raíces

Comportamiento local del factor $(x - a)^n$ al cruzar la frontera del eje X.

Multiplicidad Impar (1)

CRUZA DIRECTO

La función atraviesa el eje horizontal con pendiente finita. El signo cambia estrictamente de (-) a (+).

Regla de Oro: Las potencias pares (

n = 2, 4, 6

) jamás cambian el signo de la inecuación a ambos lados del punto frontera.

Eje X en y = 0

Construcción Rigurosa del Conjunto Solución

Al estudiar polinomios factorizados, recuerda que los factores con exponente par ( $(x - a)^2, (x - a)^4$ ) son estrictamente no negativos. No alteran el signo de la función pero determinan si el punto de contacto pertenece o no a la solución.

Atención a Desigualdades Estrictas

Si la inecuación es estricta ( $<$ o $>$ ), los puntos de rebote donde la expresión vale cero deben ser perforados/excluidos del intervalo final.

Ejemplo resuelto: tres factores

Resuelve $(x + 2)(x - 1)(x - 3) > 0$ .

1
Hallar los ceros de cada factor
$x = -2, \quad x = 1, \quad x = 3$
2
Partir la recta en tramos
Los ceros la parten en x < −2, (−2, 1), (1, 3) y x > 3. Dentro de cada tramo el signo no cambia.
3
Probar un número en cada tramo
Con x = −3: (−1)(−4)(−6) = −24. Con x = 0: (2)(−1)(−3) = 6. Con x = 2: (4)(1)(−1) = −4. Con x = 4: (6)(3)(1) = 18.
4
Quedarse con los positivos
Se pide > 0, así que los ceros no entran.
$(-2,\ 1) \cup (3,\ \infty)$

Ejercicios: inecuaciones polinómicas

Cinco ejercicios. Si fallas, la explicación te dice qué se torció.

Ejercicio 1: una cúbica

¿Cuál es el conjunto solución de

x^3 - 4x < 0

Ejercicio 2: una raíz doble

¿Cuál es el conjunto solución de

(x - 1)^2 (x + 3) > 0

Ejercicio 3: cortes que tienen sentido (tipo PISA)

Una caja sin tapa se arma recortando un cuadrado de lado

x

en cada esquina de una lámina de 12 cm de lado. Su volumen es

V(x) = x(12 - 2x)^2

. ¿Para qué valores de

x

se puede armar una caja con volumen positivo?

Ejercicio 4: la caja de más de un litro

Con la cartulina de 20 cm por 30 cm,

V(x) = x(20 - 2x)(30 - 2x)

. Sabiendo que

V(x) - 1\,000 = 4(x - 5)(x^2 - 20x + 50)

y que las raíces del último factor son unos 2,93 y 17,07, ¿qué cortes dan más de 1.000 cm³?

Ejercicio 5: un cuadrado que no cambia el signo

Resuelve

x^2(x - 3) < 0