45. Inecuaciones polinómicas de grado superior

Divide y Vencerás

Cuando el grado del polinomio es 3 o mayor (ej. $x^3 - 4x^2 + x > 0$ ), no podemos despejar la $x$ directamente. La estrategia clave es transformar la suma en un producto de factores.

Cero a la derecha

Asegúrate de que un lado de la desigualdad sea $0$ .
Ej: $P(x) > 0$

Factorización Total

Usa factor común, agrupación o Ruffini para romper el polinomio en paréntesis de grado 1.

Práctica: Factorización

EJERCICIO 1.1

Factoriza para encontrar las raíces de: $x^3 - 4x < 0$

Ver solución

1. Factor común $x$ : $x(x^2 - 4) < 0$

2. Diferencia de cuadrados: $x(x-2)(x+2) < 0$

Raíces: 0, 2, -2

EJERCICIO 1.2

Encuentra los puntos críticos de: $x^4 - 16 \geq 0$

Ver solución

1. $(x^2-4)(x^2+4) \geq 0$

2. $(x-2)(x+2)(x^2+4) \geq 0$

(Nota: $x^2+4$ nunca es cero en reales)

Puntos críticos: 2, -2

Concepto Clave

"Un polinomio de grado n tendrá hasta n raíces. Estas raíces son las únicas puertas donde el signo puede cambiar."

El Secreto de la Multiplicidad

No siempre es necesario probar números en cada intervalo. Si conoces la multiplicidad (el exponente) de cada factor, puedes predecir si la gráfica cruza o rebota en el eje X.

Laboratorio de Multiplicidad

Analiza el factor $(x - a)^n$

CRUZA

La función cambia de signo. Pasa de negativo a positivo (o viceversa).

Comportamiento en la raíz

Construyendo la Solución

Una vez factorizado, usamos el método de los intervalos o el análisis de signos. Recuerda: un factor elevado a una potencia par siempre es positivo (o cero), por lo que no afecta el signo global, solo añade un punto donde la función vale cero.

Cuidado con los extremos

Si la inecuación es estricta ( $<$ o $>$ ), los puntos donde hay "rebote" (potencia par) deben excluirse de la solución si hacen que la expresión sea cero.

Práctica: Interpretación

EJERCICIO 2.1

Resuelve: $(x-1)^2 (x+3) > 0$

Ver solución

1. $(x-1)^2$ es siempre positivo (salvo en 1).

2. Solo necesitamos $x+3 > 0$ , es decir $x > -3$ .

3. ¡Ojo! En $x=1$ la expresión es 0, y pedimos $>0$ .

Sol: $(-3, 1) \cup (1, \infty)$

EJERCICIO 2.2

Resuelve: $x(x-2)(x-5) \leq 0$

Ver solución

Raíces: 0, 2, 5 (todas simples, cruzan).

Prueba $x=6$ : (+)(+)(+) = +. Alternamos signos desde la derecha: +, -, +, -.

Buscamos negativos ( $\leq 0$ ).

Sol: $(-\infty, 0] \cup [2, 5]$

Desafío PISA

Diseño de Empaques

Una empresa fabrica cajas sin tapa a partir de láminas cuadradas de cartón de 12 cm de lado, cortando cuadrados de lado $x$ en las esquinas y doblando los lados.

El volumen de la caja está dado por $V(x) = x(12 - 2x)^2$ .
Para que la caja tenga sentido físico, el volumen debe ser positivo ( $>0$ ) y las dimensiones deben ser reales. ¿Cuál es el intervalo válido para $x$ ?

Opción A

(0, 12)

Opción B

(-\infty, 0) \cup (6, \infty)

Opción C

(0, 6)

Ver Justificación

Analicemos las restricciones físicas:

La altura $x$ debe ser positiva: $x > 0$ .
El lado de la base $12 - 2x$ debe ser positivo: $12 - 2x > 0 \Rightarrow 12 > 2x \Rightarrow 6 > x$ .
Matemáticamente, $(12-2x)^2$ siempre es positivo, pero físicamente el corte no puede exceder la mitad del cartón.

Respuesta Correcta: C

El intervalo válido es la intersección de las condiciones: $(0, 6)$ .