Un colegio de Nariño tiene 24 m de malla para cercar una huerta contra un muro. Si los lados que salen del muro miden x, el área es x(24−2x). Ya sabes que 40 m² se logran con x=2 o x=10. Pero la pregunta de verdad es otra: ¿qué fondos dan más de 40 m²? La respuesta es un pedazo de la recta, y las dos soluciones de la ecuación son sus fronteras.
Momento animado
¿Con qué fondo pasa de 40 m²?
Dale a reproducir o arrastra la barra. La sombra del punto en el eje dice si ese fondo sirve.
Área de la huerta
Pasa de 40 m²
No pasa
Etapa 1 de 4
Etapas
Etapa 1 de 4 · Recorrer la curva
Para cada fondo x, el área es x(24−2x). Un punto recorre la curva: donde queda por encima de la línea de 40 m², su sombra en el eje se pinta de verde.
Fondo x = 0 m: área = 0 · 24 = 0 m², no pasa de 40.
Las Fronteras del Cambio
Una inecuación de segundo grado adopta la forma general ax2+bx+c>0. A diferencia de las lineales, aquí el signo del polinomio puede cambiar dos veces dependiendo de las raíces de la parábola.
El Secreto: Las Raíces Frontera
Los únicos puntos donde una función polinómica continua puede cruzar el nivel cero y cambiar de signo son sus raíces (f(x)=0). Estos números dividen la recta numérica en tres intervalos de prueba continuos.
1
Factorizar
Encuentra las raíces igualando la expresión a cero.
2
Ubicar
Coloca las raíces en la recta real para delimitar intervalos.
3
Testear
Evalúa un número de prueba en cada zona para comprobar el signo.
Concepto Clave
"Las raíces de la función cuadrática son las 'fronteras' donde el signo de la inecuación puede cambiar."
Laboratorio
Laboratorio del estudio del signo
Mueve el valor de prueba y mira el signo de cada factor y el del resultado.
Función cuadrática
f(x)=(x−1)(x−4)=x2−5x+4
Zona verde (+): la curva va por encima del eje x. Zona roja (−): va por debajo.
x = 2,5
Factor 1
x−1
1,5
(+) positivo
Factor 2
x−4
-1,5
(−) negativo
El producto en x = 2,5
-2,25
Signo (−)
Raíces en x = 1 y x = 4. Es negativa en el interior, (1, 4), y positiva en los extremos, (−∞, 1) ∪ (4, ∞).
La Tabla de Signos Sistemática
Para inecuaciones polinómicas o con múltiples factores, la Tabla de Signos organiza visualmente el producto de los binomios:
Factor
x<1
1<x<4
x>4
(x−1)
-
+
+
(x−4)
-
-
+
PRODUCTO FINAL
+
-
+
Ejemplo resuelto: la huerta de más de 40 m²
¿Para qué fondos x la huerta tiene más de 40 m²?
1
Plantear y pasar todo a un lado
De x(24 − 2x) > 40:
−2x2+24x−40>0
2
Dividir entre −2 y voltear
Es un número negativo: el > se vuelve <.
x2−12x+20<0
3
Hallar las fronteras
Son las raíces, donde el producto se anula: x = 2 y x = 10.
(x−2)(x−10)<0
4
Estudiar el signo
Con x = 0 el producto es 20 > 0; con x = 6 es −16 < 0; con x = 12 es 20 > 0. Solo sirve la zona del medio.
2<x<10
5
Interpretar
Cualquier fondo entre 2 m y 10 m, sin incluirlos, da más de 40 m². Con 2 o 10 da justo 40.
Ejercicios: inecuaciones cuadráticas
Seis ejercicios. Si fallas, la explicación te dice en qué paso se torció la cuenta.
Ejercicio 1: menor que cero
¿Cuál es el conjunto solución de x2−5x+6<0?
Ejercicio 2: con menor o igual
¿Cuál es el intervalo solución de x2−9≤0?
Ejercicio 3: el paquete del dron (tipo PISA)
La altura de un paquete lanzado por un dron es h(t)=−5t2+20t metros, con t en segundos. ¿En qué intervalo de tiempo está a más de 15 m?
Ejercicio 4: la huerta de al menos 64 m²
Con 24 m de malla contra un muro, el área de la huerta es x(24−2x). ¿Para qué fondos x el área es de al menos 64 m²?