44. Inecuaciones de segundo grado: estudio del signo

Las Fronteras del Cambio

Una inecuación de segundo grado tiene la forma $ax^2 + bx + c > 0$ . A diferencia de las lineales, aquí el signo puede cambiar varias veces dependiendo de la curvatura de la parábola.

El Secreto: Las Raíces

Los únicos lugares donde una expresión continua puede cambiar de signo son sus raíces (donde $f(x) = 0$ ). Estos valores dividen la recta real en "zonas de prueba".

Factorizar

Encuentra las raíces igualando la expresión a cero.

Ubicar

Coloca las raíces en la recta real para crear intervalos.

Testear

Elige un número de cada zona para ver si es (+) o (-).

Práctica Rápida: Puntos Críticos

EJERCICIO 1.1

¿Cuáles son los puntos críticos de $x^2 - 5x + 6 < 0$ ?

Ver respuesta

Factorizando: $(x-2)(x-3)=0$ . Las raíces son $x=2$ y $x=3$ .

EJERCICIO 1.2

Si las raíces son -1 y 5, ¿cuántos intervalos de prueba se forman?

Ver respuesta

Se forman 3 intervalos: $(-\infty, -1)$ , $(-1, 5)$ y $(5, \infty)$ .

Concepto Clave

"Las raíces de la función cuadrática son las 'fronteras' donde el signo de la inecuación puede cambiar."

Laboratorio de Signos

Mueve el deslizador para observar cómo el producto de dos factores cambia de signo al cruzar sus raíces. Nota que entre las raíces, el signo es opuesto al de los extremos.

Laboratorio de Puntos Críticos

Analiza el comportamiento de $f(x) = (x - 1)(x - 4)$

Raíz 1

Raíz 2

Valor de

x

: 0.0Positivo

La Tabla de Signos (El Cementerio)

Para inecuaciones con varios factores, la Tabla de Signos es la herramienta más confiable. Nos permite ver cómo interactúan los signos de cada binomio.

Factor	$x < 1$	$1 < x < 4$	$x > 4$
$(x - 1)$	-	+	+
$(x - 4)$	-	-	+
PRODUCTO	+	-	+

Práctica: Análisis de Producto

EJERCICIO 2.1

En $(x+2)(x-3) > 0$ , ¿qué signo tiene el producto si $x = 0$ ?

Ver respuesta

$(0+2)(0-3) = (2)(-3) = -6$ . El signo es negativo.

EJERCICIO 2.2

Resuelve $x^2 - 9 \leq 0$ usando intervalos.

Ver respuesta

Raíces: -3 y 3. Como es una parábola que abre hacia arriba, es negativa entre las raíces: $[-3, 3]$ .

Desafío PISA

Física: El Vuelo del Proyectil

Un dron de rescate lanza un paquete de suministros. La altura $h$ (en metros) respecto al tiempo $t$ (en segundos) sigue la función:

h(t) = -5t^2 + 20t

Para que el paracaídas se despliegue correctamente, el paquete debe estar a una altura estrictamente mayor a 15 metros. ¿Durante qué intervalo de tiempo ocurre esto?

Opción A

(0, 4)

Opción B

(1, 3)

Opción C

[1, 3]

Ver Análisis Técnico

Resolución paso a paso:

Planteamos la inecuación: $-5t^2 + 20t > 15$ .
Igualamos a cero: $-5t^2 + 20t - 15 > 0$ .
Simplificamos dividiendo por -5 (¡Cuidado! El signo $>$ cambia a $<$ ): $t^2 - 4t + 3 < 0$ .
Factorizamos: $(t - 1)(t - 3) < 0$ .
Las raíces son 1 y 3. Al ser una parábola positiva buscando valores negativos, la solución es el intervalo entre raíces.

Respuesta Correcta: B

El intervalo es $(1, 3)$ con paréntesis porque la condición es "estrictamente mayor" ( $>$ ).