43. Representación de soluciones en la recta real

Domina el lenguaje visual de los conjuntos solución: intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos y la noción rigurosa del infinito.

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Para empezar

Entre Pasto y Tunja siempre cabe otro número

Según el IDEAM, la temperatura media de Pasto es 13,07 °C y la de Tunja, 13,26 °C. Entre las dos cabe 13,1; entre 13,07 y 13,1 cabe 13,08; entre 13,07 y 13,08 cabe 13,0755… Por más cerca que estén dos números, siempre cabe otro en medio. Por eso la solución de una inecuación no es una lista de números: es un pedazo entero de la recta, un intervalo, y lo que importa es si sus extremos entran o no.

Momento animado

Las capitales en el intervalo [20, 25)

Dale a reproducir o arrastra la barra. Mira qué pasa en el extremo que no se incluye.

15202530Temperatura media (°C)
  • Capital dentro del intervalo
  • Fuera
  • Extremo que no entra
Etapa 1 de 4
Etapas

Etapa 1 de 4 · Las capitales

Cada punto es una capital, ubicada según su temperatura media (IDEAM, 1991–2020). Van de Pasto, con 13,07 °C, a Barranquilla, con 29,4 °C.

El Mapa Continuo de los Números Reales

A cada número real le corresponde exactamente un punto en la recta continua, y a cada punto en la recta le corresponde un único número real. Cuando resolvemos una inecuación, su conjunto solución conforma un segmento o rayo geométrico.

Círculo Abierto (Hueco)

Se utiliza en desigualdades estrictas (<< o >>).

  • El valor frontera NO pertenece al conjunto solución.
  • En intervalos se expresa con paréntesis ( ).
  • Ejemplo: x>3  ⟺  (3,∞)x > 3 \iff (3, \infty).
Círculo Cerrado (Relleno)

Se utiliza en desigualdades amplias (≤\le o ≥\ge).

  • El valor frontera SÍ pertenece a la solución.
  • En intervalos se expresa con corchetes [ ].
  • Ejemplo: x≥3  ⟺  [3,∞)x \ge 3 \iff [3, \infty).

La Regla Absoluta del Infinito (∞\infty): El infinito nunca es un número que podamos alcanzar. Por definición estricta de análisis matemático, los extremos infinitos siempre llevan paréntesis: [5,∞)[5, \infty) es correcto; [5,∞][5, \infty] es un error conceptual grave.

Modalidad de Intervalo

Punto frontera:2
02
Desigualdad
x>2x > 2
Intervalo
(2,∞)(2, \infty)

Extremo abierto: el número delimita sin estar incluido (paréntesis)

Ejemplo resuelto: capitales templadas

Con las temperaturas medias del IDEAM, ¿qué capitales están en el intervalo [20, 25)[20,\ 25)?

  1. 1

    Pasar el intervalo a desigualdad

    Corchete en el 20: entra. Paréntesis en el 25: no entra.
    20≤T<2520 \le T < 25
  2. 2

    Revisar los que están cerca de los extremos

    Villavicencio tiene 25,91 °C: se pasa de 25. Manizales tiene 17,32 °C: no llega a 20.
  3. 3

    Leer la respuesta

    Cumplen Bucaramanga (21,62 °C), Medellín (23,06 °C), Cali (23,78 °C) e Ibagué (24,11 °C). Si el intervalo fuera [20, 26], Villavicencio también entraría.

Ejercicios: la recta real

Seis ejercicios. Si fallas, la explicación te dice qué se torció.

Ejercicio 1: de la gráfica al intervalo
En la recta se ve una flecha sombreada hacia la izquierda que sale de −2-2, con un punto relleno en el −2. ¿Qué conjunto representa?
Ejercicio 2: del intervalo a la desigualdad
¿Cómo se escribe el intervalo (−5, 10](-5,\ 10] como desigualdad?
Ejercicio 3: el infinito
¿Por qué el extremo infinito de un intervalo siempre lleva paréntesis?
Ejercicio 4: escribir como intervalo
Escribe −1<x≤4-1 < x \leq 4 como intervalo.
Ejercicio 5: capitales frías
Según el IDEAM (normales 1991–2020), Pasto tiene 13,07 °C de temperatura media, Tunja 13,26 °C, Bogotá 13,93 °C, Manizales 17,32 °C y Bucaramanga 21,62 °C. ¿Cuántas de estas capitales tienen su temperatura media en el intervalo [13, 18)[13,\ 18)?
Ejercicio 6: la parte común
Si A=[−1, 4)A = [-1,\ 4) y B=[2, 6]B = [2,\ 6], ¿cuál es A∩BA \cap B, los números que están en los dos?