42. Inecuaciones de primer grado con una incógnita

El Arte de Despejar

Una inecuación de primer grado es aquella donde el exponente máximo de la incógnita es 1. Resolverla es encontrar el conjunto solución que hace verdadera la desigualdad.

Objetivo

Aislar la $x$ en un lado de la desigualdad usando operaciones inversas, igual que en las ecuaciones.

La Alarma

Si multiplicas o divides por un número negativo, debes invertir el sentido del símbolo ( $<$ se vuelve $>$ ).

Concepto Clave

"Resolver una inecuación lineal implica transformar la expresión original en una forma simple como x < k o x > k."

Resolución Dinámica

Sigue el flujo algebraico paso a paso

Paso 1: Planteamiento

5x - 7 > 3x + 9

Queremos agrupar las x de un lado y los números del otro.

Intervalos y Recta Numérica

La solución de una inecuación no es un punto, sino una región. Usamos dos formas principales para escribirla:

Abierto (No incluye)

(a, b)

Círculo vacío

Cerrado (Incluye)

[a, b]

Círculo relleno

Desafíos de Resolución

Ejercicio 1

Inecuación Simple

Resuelve: $3x + 4 \leq 19$

Ver solución

1. Restamos 4: $3x \leq 15$ .

2. Dividimos entre 3: $x \leq 5$ .

Intervalo:

(-\infty, 5]

Ejercicio 2

El Factor Negativo

Resuelve: $10 - 2x < 4$

Ver solución

1. Restamos 10: $-2x < -6$ .

2. Dividimos entre -2. ¡Invertimos el sentido!

3. $x > 3$ .

Intervalo:

(3, \infty)

Desafío PISA

El Dilema del Gimnasio

El gimnasio "Alpha" cobra una inscripción de $$400$ y una mensualidad de $$200$ . El gimnasio "Beta" no cobra inscripción pero su mensualidad es de $$350$ .

¿A partir de cuántos meses $m$ resulta más económico inscribirse en el gimnasio "Alpha"?

Comparar costos

1. Planteamos la inecuación (Alpha < Beta):
$400 + 200m < 350m$ .

2. Restamos 200m: $400 < 150m$ .

3. Dividimos: $m > \frac{400}{150} \approx 2.66$ .

Conclusión:

A partir del tercer mes ( $m \geq 3$ ), el gimnasio Alpha es más barato.