41. Desigualdades y sus propiedades | Álgebra (Fundamentos)

El Concepto de Desigualdad

A diferencia de una ecuación que busca un valor exacto, una desigualdad establece una relación de orden entre dos expresiones. La solución no suele ser un número único, sino un conjunto de valores (intervalo).

<

Menor que

>

Mayor que

\leq

Menor o igual

\geq

Mayor o igual

Ley de Tricotomía

Para cualquier par de números reales $a$ y $b$ , solo una de estas tres opciones es verdadera:
$a < b, \quad a > b, \quad \text{o} \quad a = b$ .

Concepto Clave

"Una desigualdad es una sentencia matemática que compara dos cantidades usando símbolos de orden."

Las Reglas del Juego

Resolver desigualdades es casi igual a resolver ecuaciones, con una excepción crítica en la multiplicación y división.

Suma y Resta

Si $a < b$ , entonces $a + c < b + c$ . El sentido se mantiene.

Multiplicación Positiva

Si $a < b$ y $c > 0$ , entonces $ac < bc$ . El sentido se mantiene.

Multiplicación Negativa (¡CUIDADO!)

Si $a < b$ y $c < 0$ , entonces $ac > bc$ . El sentido se invierte.

Laboratorio de Propiedades

Observa qué pasa al multiplicar por números negativos

Multiplicar ambos lados por: 1

-505

<

Estado: Sentido Original

Práctica de Propiedades

Ejercicio 1

Suma y Resta

Si $x - 5 > 12$ , ¿cuál es el intervalo de solución para $x$ ?

Ver solución

1. Sumamos 5 a ambos lados: $x - 5 + 5 > 12 + 5$ .

2. Simplificamos: $x > 17$ .

Solución:

(17, \infty)

Ejercicio 2

El Cambio de Sentido

Resuelve la desigualdad: $-3x \leq 15$

Ver solución

1. Dividimos entre -3. ¡Atención! El símbolo debe cambiar.

2. $x \geq \frac{15}{-3}$ .

Solución:

x \geq -5

Desafío PISA

Presupuesto de Eventos

Una empresa de banquetes cobra una tarifa fija de $$500$ más $$25$ por cada invitado. Si el presupuesto máximo de una graduación es de $$3,000$ , ¿cuál es el número máximo de invitados $n$ que pueden asistir?

Analizar presupuesto

1. Planteamos la desigualdad: $500 + 25n \leq 3000$ .

2. Restamos 500: $25n \leq 2500$ .

3. Dividimos entre 25 (positivo, no cambia el sentido): $n \leq 100$ .

Resultado:

n \leq 100

El número máximo de invitados es 100.