41. Desigualdades y sus propiedades | Álgebra (Fundamentos)

Para empezar

Más frío en °C, ¿más frío en °F?

Según el IDEAM, Bogotá tiene una temperatura media de 13,93 °C y Medellín de 23,06 °C. Bogotá es más fría, y lo sigue siendo en grados Fahrenheit. Pero si se mide lo que le falta a cada una para llegar a 30 °C, el orden se invierte: a Bogotá le falta más. Una desigualdad aguanta algunas operaciones y con otras se voltea. Esta lección te muestra cuáles.

Momento animado

¿Qué operaciones voltean el orden?

Dale a reproducir o arrastra la barra. Mira cuál ciudad queda a la izquierda después de cada operación.

Bogotá
Medellín

AvanceEtapa 1 de 4

Etapas

Etapa 1 de 4 · El orden

Bogotá tiene 13,93 °C de temperatura media y Medellín 23,06 °C (IDEAM). Bogotá está a la izquierda: 13,93 < 23,06.

El Concepto de Desigualdad

A diferencia de una ecuación que busca un valor exacto, una desigualdad establece una relación de orden entre dos expresiones. La solución no suele ser un número único, sino un conjunto continuo de valores denominado intervalo.

<

Menor que

>

Mayor que

\leq

Menor o igual

\geq

Mayor o igual

Axioma de Tricotomía

Para cualquier par de números reales $a$ y $b$ , solo una y exactamente una de estas tres afirmaciones es verdadera:
$a < b, \quad a > b, \quad \text{o} \quad a = b$ .

Concepto Clave

"Una desigualdad es una sentencia matemática que compara dos cantidades usando símbolos de orden."

Las Reglas del Juego

Manipular desigualdades comparte muchas propiedades con las ecuaciones, pero posee una diferencia crucial al multiplicar o dividir por cantidades negativas.

Suma y Resta

Si $a < b$ , entonces $a + c < b + c$ . El sentido se mantiene intacto.

Multiplicación por Positivos

Si $a < b$ y $c > 0$ , entonces $ac < bc$ . El sentido se mantiene.

Multiplicación por Negativos (¡ALERTA!)

Si $a < b$ y $c < 0$ , entonces $ac > bc$ . El sentido se invierte obligatoriamente.

Laboratorio

La balanza de la desigualdad

Parte de $2 < 5$ : multiplica los dos lados por $c$ , suma $k$ y mira hacia dónde se inclina.

Las cuentas

2 \cdot 1 = 2 \quad < \quad 5 \cdot 1 = 5

Sumar cualquier número, o multiplicar por un positivo, conserva el sentido de la desigualdad.

Multiplicar los dos lados por cc = 1

Dividir entre c es multiplicar por 1/c: la regla del signo es la misma.

Después, sumar k a los dos ladosk = +0

Ejemplo resuelto: de °C a °F, con el orden

Si $13{,}93 < 23{,}06$ (Bogotá y Medellín en °C), ¿qué pasa con el orden al aplicar $F = 1{,}8\,C + 32$ ? ¿Y con $30 - C$ ?

1
Multiplicar por 1,8, que es positivo
El sentido se conserva (valores redondeados a décimas).
$25{,}1 < 41{,}5$
2
Sumar 32
Sumar nunca cambia el sentido. En °F, Bogotá sigue siendo más fría.
$57{,}1 < 73{,}5$
3
Multiplicar por −1
Con un negativo el sentido se voltea.
$-13{,}93 > -23{,}06$
4
Sumar 30
Lo que le falta a cada ciudad para 30 °C: a Bogotá, más.
$16{,}07 > 6{,}94$

Ejercicios: desigualdades

Seis ejercicios. Si fallas, la explicación te dice qué se torció.

Ejercicio 1: sumar a los dos lados

x - 5 > 12

, ¿cuál es el conjunto solución?

Ejercicio 2: dividir entre un negativo

¿Cuál es la solución de

-3x \leq 15

Ejercicio 3: el presupuesto del grado (tipo PISA)

Un servicio de banquetes cobra $500.000 fijos más $25.000 por invitado (precios de ejemplo). El comité del grado tiene un tope de $3.000.000. ¿Cuántos invitados

n

pueden asistir como máximo?

Ejercicio 4: ¿qué se conserva?

a < b

, ¿cuál de estas afirmaciones es cierta para cualquier par de números reales?

Ejercicio 5: lo que falta para 30 °C

Según el IDEAM, la temperatura media de Bogotá es 13,93 °C y la de Medellín 23,06 °C. ¿Qué relación hay entre lo que le falta a cada ciudad para llegar a 30 °C, es decir, entre

30 - 13{,}93

30 - 23{,}06

Ejercicio 6: dividir entre −2

Resuelve

-\frac{x}{2} > 3