36. Ecuaciones irracionales con una raíz cuadrada

Aprende a resolver ecuaciones donde la incógnita está atrapada bajo una raíz y descubre por qué elevar al cuadrado puede ser engañoso.

Estudiar en la plataforma interactiva

Para empezar

¿Hasta dónde se ve el mar?

Como la Tierra es redonda, desde una altura de hh metros se ve hasta unos d≈3,57hd \approx 3{,}57\sqrt{h} kilómetros (sale de Pitágoras con el radio de la Tierra, unos 6.371 km, sin contar cómo el aire dobla la luz). Una persona de pie en la playa, con los ojos a 1,6 m, ve hasta unos 4,5 km. ¿A qué altura hay que subir para ver hasta 20 km? La incógnita está dentro de una raíz.

Momento animado

La solución que trae el cuadrado

Mira qué cortes aparecen al elevar al cuadrado y cuál sobrevive a la comprobación.

Curva raíz de x + 3, su rama negativa y la recta x − 3−202468−4−3−2−1012345
  • y=x+3y = \sqrt{x + 3}
  • y=x−3y = x - 3
  • y=−x+3y = -\sqrt{x + 3}
Etapa 1 de 3
Etapas

Etapa 1 de 3 · Dos lados

Dibujamos los dos lados de x+3=x−3\sqrt{x + 3} = x - 3: la curva de la raíz y la recta. Se cortan en un solo punto, en x=6x = 6, donde los dos valen 3.

¿Qué es una Ecuación Irracional?

Una ecuación es irracional cuando la incógnita aparece dentro de un radical. Para resolverlas, nuestro objetivo principal es "eliminar" la raíz.

Identificación

No confundas x+2=5x + \sqrt{2} = 5 (que es lineal) con x+2=5\sqrt{x} + 2 = 5 (que es irracional).

El Peligro

Al elevar al cuadrado, la igualdad se mantiene, pero pueden aparecer soluciones extrañas que no sirven en la ecuación original.

Concepto Clave

"Elevar al cuadrado deshace la raíz, pero también vuelve iguales a −a y a: por eso puede colar soluciones falsas que hay que descartar al comprobar."

Estrategia de Resolución

Sigue el flujo lógico para liberar a la xx de su "prisión" radical.

Laboratorio de Radicales

Resolviendo paso a paso: x+3+3=x\sqrt{x+3} + 3 = x

1. Aislar la Raíz

Antes de elevar al cuadrado, la raíz debe estar sola en un lado de la igualdad.

x+3=x−3\sqrt{x + 3} = x - 3

Pasos Críticos

1

Aislamiento

Deja la raíz sola en un miembro. Si tienes x+5=x\sqrt{x} + 5 = x, pásalo a x=x−5\sqrt{x} = x - 5.

2

Potenciación

Eleva ambos lados al cuadrado. Recuerda: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. No lo olvides.

3

Verificación Obligatoria

Sustituye tus resultados en la ecuación original. Si la igualdad no se cumple, descarta esa solución.

Ejemplo resuelto: ver hasta 20 km

Con d≈3,57hd \approx 3{,}57\sqrt{h} (d en km, h en m), ¿a qué altura se ve hasta 20 km?

  1. 1

    Plantear

    3,57h=203{,}57\sqrt{h} = 20
  2. 2

    Dejar sola la raíz

    Se divide entre 3,57.
    h=203,57≈5,60\sqrt{h} = \frac{20}{3{,}57} \approx 5{,}60
  3. 3

    Elevar al cuadrado los dos lados

    h≈31,4h \approx 31{,}4
  4. 4

    Comprobar e interpretar

    3,57 · √31,4 ≈ 3,57 · 5,60 ≈ 20. Hay que subir unos 31 m, como un edificio de 10 pisos. Aquí no aparece una solución de más: el lado derecho, 20, es positivo.

Práctica de Desbloqueo

Nivel Básico

Ecuación con Radical Aislado

Resuelve la ecuación irracional elemental:
2x−1=5\sqrt{2x - 1} = 5
Ejercicio 1: Despeje y Comprobación
Al elevar al cuadrado y verificar en la ecuación original 2x−1=5\sqrt{2x - 1} = 5, ¿cuál es el valor de xx?
Cuidado: Extrañas

Detección de Raíces Extrañas

Analiza la siguiente ecuación irracional:
x=−4\sqrt{x} = -4
Ejercicio 2: Rango del Radical y Solución Real
¿Cuál es la solución rigurosa de la ecuación x=−4\sqrt{x} = -4 en el conjunto de los números reales?
Desafío tipo PISA

El Horizonte del Vigía

La distancia dd (en km) visible del horizonte en función de la altura hh (en metros) sobre el nivel del mar es:
d=12,7hd = \sqrt{12{,}7h}
Un vigía naval divisa la costa a una distancia exacta de 25,4 km25{,}4 \text{ km}.
Ejercicio 3: Altura Óptica del Puesto de Vigía
Al plantear y resolver la ecuación irracional 25,4=12,7h25{,}4 = \sqrt{12{,}7h}, ¿a qué altura se sitúa el observador?

Dos más, comprobando

Ejercicio 4: una candidata de más
Resuelve x+2=x\sqrt{x + 2} = x.
Ejercicio 5: la raíz sola
Resuelve 2x−1=3\sqrt{2x - 1} = 3.