36. Ecuaciones irracionales con una raíz cuadrada

¿Qué es una Ecuación Irracional?

Una ecuación es irracional cuando la incógnita aparece dentro de un radical. Para resolverlas, nuestro objetivo principal es "eliminar" la raíz.

Identificación

No confundas $x + \sqrt{2} = 5$ (que es lineal) con $\sqrt{x} + 2 = 5$ (que es irracional).

El Peligro

Al elevar al cuadrado, la igualdad se mantiene, pero pueden aparecer soluciones extrañas que no sirven en la ecuación original.

Concepto Clave

"La operación inversa de la raíz cuadrada es elevar al cuadrado, pero esta operación no es biyectiva para números negativos."

Estrategia de Resolución

Sigue el flujo lógico para liberar a la $x$ de su "prisión" radical.

Laboratorio de Radicales

Resolviendo paso a paso: $\sqrt{x+3} + 3 = x$

1. Aislar la Raíz

Antes de elevar al cuadrado, la raíz debe estar sola en un lado de la igualdad.

\sqrt{x + 3} = x - 3

Pasos Críticos

Aislamiento

Deja la raíz sola en un miembro. Si tienes $\sqrt{x} + 5 = x$ , pásalo a $\sqrt{x} = x - 5$ .

Potenciación

Eleva ambos lados al cuadrado. Recuerda: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . No lo olvides.

Verificación Obligatoria

Sustituye tus resultados en la ecuación original. Si la igualdad no se cumple, descarta esa solución.

Práctica de Desbloqueo

Nivel Básico

Raíz Aislada

Resuelve: $\sqrt{2x - 1} = 5$

Ver solución

1. Elevamos al cuadrado: $2x - 1 = 25$ .

2. Despejamos: $2x = 26 \implies x = 13$ .

3. Verificamos: $\sqrt{2(13)-1} = \sqrt{25} = 5$ . ¡Correcto!

Solución:

x = 13

Cuidado: Extrañas

Detección de Errores

Resuelve: $\sqrt{x} = -4$

Ver análisis

1. Si elevas al cuadrado, obtienes $x = 16$ .

2. Verificamos en la original: $\sqrt{16} = 4$ .

3. Pero la ecuación decía $-4$ . Como $4 \neq -4$ , la solución es falsa.

Resultado: No tiene solución real.

Desafío PISA

El Horizonte del Vigía

La distancia $d$ (en km) a la que una persona puede ver el horizonte depende de su altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar, según la fórmula:

d = \sqrt{12.7h}

Si un vigía en un barco afirma que puede ver la costa a una distancia de exactamente

25.4 \text{ km}

, ¿a qué altura se encuentra su puesto de observación?

Calcular altura

1. Sustituimos $d = 25.4$ : $25.4 = \sqrt{12.7h}$ .

2. Elevamos al cuadrado: $(25.4)^2 = 12.7h$ .

3. Calculamos: $645.16 = 12.7h$ .

Resultado:

h = 50.8 \text{ metros}

El vigía está a unos 51 metros de altura.