35. Ecuaciones con fracciones algebraicas

Para empezar

Dos llaves, un tanque

Una llave llena un tanque en 3 horas y otra en 6 (tiempos de ejemplo). Si se abren las dos, ¿cuánto tardan? La respuesta no es 9 horas ni 4,5: lo que se suma es lo que llena cada una por hora. Eso lleva a una ecuación con la incógnita en el denominador, $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{t}$ : una ecuación racional.

Momento animado

Dos llaves llenan un tanque

El reloj es el del tanque, en horas. Mira cuál se llena primero.

Horas desde que se abrent = 0,0 h

Etapas

Etapa 1 de 4 · Abrir las llaves

Tres tanques iguales: uno con la llave A, otro con la llave B y otro con las dos. La llave A sola llena un tanque en 3 horas; la B, en 6.

La Regla de Oro: No dividirás por cero

En una ecuación racional, la incógnita aparece en el denominador. Antes de mover un solo número o aplicar la propiedad distributiva, debemos declarar de manera explícita qué valores no puede tomar $x$ .

\frac{5}{x - 3} = 10 \implies x \neq 3

Si al final del despeje algebraico obtienes que $x = 3$ , esa solución se denomina solución extraña o espuria y debe ser descartada inmediatamente, pues invalidaría la igualdad porque obligaría a dividir entre cero.

Concepto Clave

"El dominio de una ecuación racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan cualquier denominador."

Laboratorio Interactivo de Dominio y Raíces

Explora los tres casos arquetípicos y observa en la recta numérica en tiempo real cómo las restricciones de dominio filtran las respuestas:

Laboratorio de Detección de Raíces Extrañas

Descubre por qué multiplicar por expresiones algebraicas puede introducir soluciones falsas.

Caso 1: Trampa Clásica (Raíz Espuria)

\frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 2

Fase 1 de 4Restricción Previa

1. Identificación del Dominio Prohibido

Antes de hacer cualquier multiplicación, encontramos los valores donde cualquier denominador se hace cero:

x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3

Verificación en la Recta Real

Valores prohibidos (denominador = 0).

Estrategia Sistemática por MCM

Para eliminar las fracciones algebraicas con seguridad matemática, aplicamos el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de todos los denominadores factorizados.

Factorizar Denominadores

Antes de construir el MCM, descompón en factores primos polinomios como $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ .

Multiplicación por el MCM

Multiplica ambos miembros de la ecuación por el MCM. Todos los denominadores se cancelarán dejando una ecuación polinomial.

Filtrado con el Dominio Restringido

Compara cada candidato obtenido con los valores prohibidos del paso 1. Cualquier valor coincidente queda descartado.

Ejemplo resuelto: el tiempo de las dos llaves

La llave A llena el tanque en 3 horas y la B en 6. ¿En cuánto tiempo $t$ lo llenan juntas?

1
Escribir lo que llena cada una por hora
La A, un tercio de tanque; la B, un sexto; juntas, 1/t.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{t}$
2
Anotar lo prohibido
Hay una t en un denominador: t no puede ser 0.
3
Multiplicar todo por el mínimo común múltiplo, 6t
$2t + t = 6$
4
Despejar
$t = 2$
5
Comprobar
1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2, y 1/t = 1/2. Juntas tardan 2 horas, menos que la más rápida.

Ejercicios: ecuaciones racionales

Cinco ejercicios. Si fallas, la explicación te dice qué se torció.

Ejercicio 1: los valores prohibidos

¿Qué valores no pueden ser solución, en ningún caso, de

\frac{4}{x^2 - 16} = \frac{2}{x - 4}

Ejercicio 2: el candidato que no sirve

¿Cuál es el conjunto solución de

\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 3

Ejercicio 3: dos tuberías (tipo PISA)

Dos tuberías llenan juntas un depósito en 4 horas. La rápida, sola, tarda 6 horas menos que la lenta. Con

t

el tiempo de la rápida,

\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 6} = \frac{1}{4}

. ¿Cuánto tarda la rápida sola?

Ejercicio 4: mínimo común múltiplo

Resuelve

\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{4}

Ejercicio 5: producto cruzado

Resuelve

\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x - 1}