35. Ecuaciones con fracciones algebraicas

La Regla de Oro: No dividirás por cero

En una ecuación racional, la incógnita aparece en el denominador. Antes de mover un solo número, debemos declarar qué valores no puede tomar $x$ .

\frac{5}{x - 3} = 10 \implies x \neq 3

Si al final de tu proceso obtienes que $x = 3$ , esa solución se llama solución extraña y debe ser descartada, ya que haría que la ecuación original fuera una división por cero.

Concepto Clave

"El dominio de una ecuación racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan cualquier denominador."

El Proceso de Limpieza

Sigue este flujo de trabajo para transformar una ecuación fraccionaria compleja en una ecuación lineal o cuadrática simple.

Estrategia de Resolución

Resolviendo: $\frac{1}{x} + \frac{3}{x-2} = \frac{6}{x(x-2)}$

1. Identificar Restricciones

El denominador no puede ser cero. Aquí, x no puede ser 0 ni 2.

x \neq 0, \quad x \neq 2

Eliminación por MCM

Para eliminar las fracciones, multiplicamos cada término de la ecuación por el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de todos los denominadores.

Factorizar Denominadores

Antes de hallar el MCM, asegúrate de que todos los denominadores estén factorizados (ej. $x^2 - 4$ como $(x-2)(x+2)$ ).

Multiplicación Distributiva

Multiplica el MCM por cada numerador. Los denominadores se simplificarán por completo.

Práctica de Precisión

Nivel Básico

Resolución Directa

Resuelve: $\frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 2$

Ver solución

1. Restricción: $x \neq 3$ .

2. Multiplicamos por $(x-3)$ : $x = 3 + 2(x-3)$ .

3. Resolvemos: $x = 3 + 2x - 6 \implies x = 2x - 3 \implies x = 3$ .

¡Atención! Como

x=3

está prohibido, la ecuación no tiene solución.

Nivel Medio

Uso del MCM

Resuelve: $\frac{2}{x} + \frac{1}{2} = \frac{5}{x}$

Ver solución

1. Restricción: $x \neq 0$ .

2. MCM es $2x$ . Multiplicamos: $2(2) + 1(x) = 2(5)$ .

3. $4 + x = 10 \implies x = 6$ .

Solución válida:

x = 6

Desafío PISA

Rendimiento de Trabajo

Dos mangueras llenan una piscina juntas en $4 \text{ horas}$ . Si se usaran por separado, la manguera A tardaría $6 \text{ horas}$ menos que la manguera B. ¿Cuánto tarda la manguera A sola?

La ecuación de rendimiento es:

\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}

Calcular tiempo

1. MCM: $4x(x+6)$ . Multiplicamos: $4(x+6) + 4x = x(x+6)$ .

2. $4x + 24 + 4x = x^2 + 6x \implies x^2 - 2x - 24 = 0$ .

3. Factorizamos: $(x - 6)(x + 4) = 0$ .

Resultado:

x = 6 \text{ horas}

La manguera A tarda 6 horas y la B tarda 12 horas.