34. Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos

El Teorema Fundamental del Álgebra

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación? El grado de la ecuación nos da la respuesta exacta. Una ecuación de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces (contando reales e imaginarias).

Grado 1

1 Raíz

Grado 2

2 Raíces

Grado n

n Raíces

Para resolver una ecuación como $P(x) = 0$ , nuestra meta es factorizar el polinomio hasta que quede como un producto de binomios: $(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n) = 0$ .

Concepto Clave

"Si logramos que un polinomio sea igual a cero mediante un producto, cada factor igualado a cero nos da una solución."

La Regla de Ruffini

Es el algoritmo más eficiente para dividir un polinomio por un binomio de la forma $(x - r)$ . Si el residuo es $0$ , entonces $r$ es una raíz de la ecuación.

Ruffini Interactivo

Resolviendo $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

-6

-5

Paso 1: Colocamos los coeficientes del polinomio y la raíz a probar (1).

¿Qué números probar?

Según el Teorema de las Raíces Racionales, las posibles raíces enteras son siempre divisores del término independiente.

Ejemplo en $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ : Los divisores de $-6$ son $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Esos son tus candidatos.

Hoja de Ruta para Grado Superior

Factor Común

Si todos los términos tienen $x$ , extráela primero. Esto reduce el grado inmediatamente.

Ruffini Sucesivo

Prueba divisores del término independiente hasta encontrar una raíz. Repite con el polinomio resultante.

Fórmula Cuadrática

Cuando llegues a un polinomio de grado 2, no sigas con Ruffini; usa la fórmula general para hallar las últimas dos raíces.

Entrenamiento de Grado Superior

Factor Común

Reducción de Grado

Halla las raíces de la ecuación:
$x^3 - 4x = 0$

Ver solución

1. Extraemos factor común $x$ : $x(x^2 - 4) = 0$

2. El paréntesis es una diferencia de cuadrados: $x(x - 2)(x + 2) = 0$

Raíces:

x_1 = 0, \, x_2 = 2, \, x_3 = -2

Ruffini

Uso de Divisores

Resuelve: $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

Ver solución

1. Divisores de 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ .

2. Probamos con $x = 2$ en Ruffini y el residuo es 0.

3. El cociente es $x^2 - x - 2$ .

4. Factorizamos el cociente: $(x - 2)(x + 1)$ .

Raíces:

x = 2

(doble) y

x = -1

Desafío PISA

Diseño de Paquetería

Una empresa diseña cajas donde el largo es $x$ , el ancho es $x - 2$ y el alto es $x - 4$ . Si el volumen total de la caja debe ser de $105 \text{ cm}^3$ , ¿cuál debe ser la medida de $x$ ?

La ecuación resultante es: $x(x - 2)(x - 4) = 105$ , que simplificada es:

x^3 - 6x^2 + 8x - 105 = 0

Calcular dimensión

Estrategia: Buscamos divisores de 105: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 7, \pm 15...$

Prueba: Si probamos con $x = 7$ :
$7^3 - 6(7^2) + 8(7) - 105 = 343 - 294 + 56 - 105 = 0$ .

Resultado:

x = 7 \text{ cm}

Las dimensiones de la caja son 7 cm, 5 cm y 3 cm.