34. Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos

Para empezar

Una caja de un litro con una cartulina

De una cartulina de 20 cm por 30 cm se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y se doblan los bordes: sale una caja sin tapa de volumen $x(20 - 2x)(30 - 2x)$ . ¿Qué corte da 1.000 cm³, un litro? Es una ecuación de tercer grado. No hay una fórmula cómoda como la de segundo grado, pero hay un truco: buscar los factores.

Momento animado

Cada factor trae su raíz

Mira qué pasa con los cortes cada vez que se multiplica por un factor nuevo.

El polinomio

AvanceEtapa 1 de 4

Etapas

Etapa 1 de 4 · Un factor

Empezamos con

y = x - 1

: una recta que corta el eje en

x = 1

El Teorema Fundamental del Álgebra

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación? El grado de la ecuación nos da la respuesta exacta. Una ecuación de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces (contando reales e imaginarias).

Grado 1

1 Raíz

Grado 2

2 Raíces

Grado n

n Raíces

Para resolver una ecuación como $P(x) = 0$ , nuestra meta es factorizar el polinomio hasta que quede como un producto de binomios: $(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n) = 0$ .

Concepto Clave

"Si logramos que un polinomio sea igual a cero mediante un producto, cada factor igualado a cero nos da una solución."

La Regla de Ruffini

Es el algoritmo más eficiente para dividir un polinomio por un binomio de la forma $(x - r)$ . Si el residuo es $0$ , entonces $r$ es una raíz de la ecuación.

Ruffini Interactivo

Resolviendo $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

-6

-5

Paso 1: Colocamos los coeficientes del polinomio y la raíz a probar (1).

¿Qué números probar?

Según el Teorema de las Raíces Racionales, las posibles raíces enteras son siempre divisores del término independiente.

Ejemplo en $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ : Los divisores de $-6$ son $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Esos son tus candidatos.

Hoja de Ruta para Grado Superior

Factor Común

Si todos los términos tienen $x$ , extráela primero. Esto reduce el grado inmediatamente.

Ruffini Sucesivo

Prueba divisores del término independiente hasta encontrar una raíz. Repite con el polinomio resultante.

Fórmula Cuadrática

Cuando llegues a un polinomio de grado 2, no sigas con Ruffini; usa la fórmula general para hallar las últimas dos raíces.

Ejemplo resuelto: la caja de un litro

¿Qué corte $x$ da una caja de 1.000 cm³ con la cartulina de 20 cm por 30 cm?

1
Plantear e igualar a cero
Se multiplica, se pasa el 1.000 y se divide todo entre 4:
$x^3 - 25x^2 + 150x - 250 = 0$
2
Probar divisores de −250
Con x = 5: 125 − 625 + 750 − 250 = 0. Entonces (x − 5) es un factor.
3
Dividir por (x − 5) con Ruffini
Queda un polinomio de segundo grado:
$(x - 5)(x^2 - 20x + 50) = 0$
4
Resolver el de segundo grado
x = 10 ± √50, unos 17,07 y 2,93.
$x = 10 \pm \sqrt{50}$
5
Interpretar
El corte no puede pasar de 10 cm (20 − 2x tiene que ser positivo). Sirven x = 5 cm y x ≈ 2,93 cm: dos cajas distintas de un litro. Con 5: 5 · 10 · 20 = 1.000.

Entrenamiento de Grado Superior

Factor Común

Reducción de Grado por Factorización

Halla todas las raíces de la ecuación cúbica:

x^3 - 4x = 0

Ejercicio 1: Factor Común y Diferencia de Cuadrados

Al factorizar completamente

x^3 - 4x = 0

, ¿cuáles son sus tres raíces reales?

Ruffini

Búsqueda de Ceros Racionales

Resuelve la ecuación cúbica completa:

x^3 - 3x^2 + 4 = 0

Ejercicio 2: Descomposición Sintética con Raíz Doble

Al aplicar Ruffini con los divisores de

4

, ¿cuál es el conjunto solución y multiplicidad?

Desafío tipo PISA

Diseño de Paquetería

Una empresa diseña cajas de largo

x

, ancho

x - 2

y alto

x - 4

. Si el volumen total debe ser de

105 \text{ cm}^3

, la ecuación es:

x^3 - 6x^2 + 8x - 105 = 0

Ejercicio 3: Dimensionamiento Volumétrico (tipo PISA)

Buscando entre los divisores enteros de

105

que garanticen que todas las aristas sean positivas (

x > 4

), ¿cuál es la longitud

x

Dos más

Ejercicio 4: con Ruffini

Resuelve

x^3 - 7x + 6 = 0

Ejercicio 5: por agrupación

Resuelve

x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0