33. Ecuaciones bicuadradas y cambios de variable

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado que solo contiene potencias pares de la incógnita. Su forma general es:

Aunque parece difícil por ser de grado 4, tiene una estructura "escondida" que nos permite tratarla como si fuera una de segundo grado.

Para resolver cualquier ecuación bicuadrada, sigue este protocolo riguroso:

Al deshacer el cambio $x = \pm\sqrt{u}$, podemos encontrarnos con tres escenarios para las raíces de $x$:

• 1

  Si $u > 0$: Obtenemos dos raíces reales (positiva y negativa).

• 2

  Si $u = 0$: Obtenemos una raíz real ($x = 0$).

• 3

  Si $u < 0$: Obtenemos dos raíces imaginarias. En el campo de los números reales, decimos que no hay solución para ese valor de $u$.

Una pantalla rectangular mide 50 cm (5 dm) de diagonal y 1.200 cm² (12 dm²) de área. Si sus lados son $x$ y $y$ decímetros, entonces $x^2 + y^2 = 25$ (Pitágoras) y $xy = 12$.

1. 1

   Reemplazar y = 12/x en Pitágoras

   Se multiplica todo por x² y se pasa al mismo lado:

   $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$$
2. 2

   Cambiar de variable: u = x²

   $$u^2 - 25u + 144 = 0$$
3. 3

   Resolver en u

   Δ = 25² − 4 · 144 = 49, y √Δ = 7:

   $$u = \frac{25 \pm 7}{2}$$
4. 4

   Volver a x

   u = 16 o u = 9, así que x = ±4 o x = ±3. Un lado no es negativo: los lados miden 4 dm y 3 dm, es decir, 40 cm y 30 cm.
5. 5

   Comprobar

   40 · 30 = 1.200 cm² y 40² + 30² = 1.600 + 900 = 2.500 = 50².