32. El Discriminante: ¿Cuántas soluciones hay?

Aprende a usar una pequeña parte de la fórmula cuadrática para saber rápidamente si una ecuación tiene dos, una o ninguna solución real.

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Para empezar

¿40, 72 u 80 m² de huerta?

Un colegio de Nariño tiene 24 m de malla para cercar una huerta contra un muro. Si los lados que salen del muro miden xx, el área es x(24−2x)x(24 - 2x). Para 40 m² hay dos medidas que sirven; para 72 m², una sola; para 80 m², ninguna. Un número de la fórmula general lo dice antes de hacer cualquier cuenta: el discriminante.

Momento animado

La parábola que sube y baja

Mira cuántas veces corta el eje x mientras sube y baja, y qué signo tiene Δ.

Parábola y = x² − 2x − 3. Corta el eje x en dos puntos.−3−2−1012345−5−4−3−2−101234
  • Corte con el eje x (una solución)
c = −3
Etapas

Etapa 1 de 5 · Dibujar la curva

Dibujamos y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3. Corta el eje x en dos puntos, y Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=16\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 es positivo.

y = x² − 2x − 3

Δ = 4 − 4c = 16 > 0

Dibujando la curva…

−808160 cortes2 cortes

32. El Discriminante y Naturaleza de las Raíces

En la fórmula general hay una parte que decide, sin terminar la cuenta, cuántas soluciones reales tiene la ecuación. Se llama discriminante y se escribe con la letra griega delta mayúscula (Δ\Delta).

Lo que va dentro de la raíz

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

En la fórmula general: x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Como Δ\Delta está dentro de una raíz cuadrada, su signo decide si las soluciones son números reales: la raíz de un negativo no es un número real.

Laboratorio

Ahora mueve tú los coeficientes o escoge un caso, y mira cómo la posición de la parábola frente al eje x dicta el signo del discriminante.

Laboratorio

Laboratorio del discriminante

Mueve aa, bb y cc y mira qué le pasa a la parábola y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c y a sus cortes con el eje x.

Parábola y = x² + 2x. Δ = 4 > 0: la parábola corta el eje x en dos puntos, las dos raíces reales.−6−4−20246−6−5−4−3−2−10123456

Δ = 4 > 0: la parábola corta el eje x en dos puntos, las dos raíces reales.

Tu ecuación

x2+2x=0x^2 + 2x = 0

a = 1

Si a > 0 la parábola abre hacia arriba; si a < 0, hacia abajo. a no puede ser 0: sería una ecuación de primer grado.

b = 2
c = 0

c es el corte con el eje y: sube o baja la parábola.

El discriminante

Δ=b2−4ac=22−4⋅1⋅0=4−0=4\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 4 - 0 = 4

Raíz 1

x1=−2x_1 = -2

Raíz 2

x2=0x_2 = 0

Vértice (punto violeta)

V=(−1; −1)V = \left(-1;\ -1\right)

Positivo (Δ>0\Delta > 0)

La raíz es un número real distinto de 0. Al sumarla y restarla con el ±\pm salen 2 soluciones reales distintas. La parábola corta el eje x en dos puntos.

Cero (Δ=0\Delta = 0)

Como 0=0\sqrt{0} = 0, sumar o restar no cambia nada: x=−b2ax = -\frac{b}{2a}. Hay 1 solución real doble y la parábola toca el eje x justo en su vértice.

Negativo (Δ<0\Delta < 0)

La raíz de un negativo no es un número real. La ecuación tiene 0 soluciones reales (tiene dos complejas conjugadas) y la curva nunca toca el eje x.

Concepto Clave

"El discriminante Δ = b² - 4ac es el clasificador algebraico y geométrico que predice el número de cortes con el eje horizontal sin necesidad de factorizar."

Ejemplo resuelto: ¿cabe una huerta de 72 m²?

Con 24 m de malla contra un muro, ¿hay alguna medida xx que dé 72 m² de huerta? ¿Cuántas?

  1. 1

    Plantear e igualar a cero

    De x(24 − 2x) = 72: se distribuye, se pasa el 72 y se divide todo entre −2.
    x2−12x+36=0x^2 - 12x + 36 = 0
  2. 2

    Calcular el discriminante

    Con a = 1, b = −12 y c = 36: (−12)² − 4 · 1 · 36 = 144 − 144.
    Δ=0\Delta = 0
  3. 3

    Leer el signo

    Δ = 0: hay exactamente una medida, la del vértice.
    x=−b2a=122=6x = -\frac{b}{2a} = \frac{12}{2} = 6
  4. 4

    Comprobar e interpretar

    Con x = 6, el lado paralelo mide 24 − 12 = 12 m y el área es 6 · 12 = 72 m². Es la huerta más grande que se puede hacer con esa malla: para 80 m², Δ = 144 − 160 = −16 y no hay medida posible.

Ejercicios: el discriminante

Cinco ejercicios. Si fallas, la explicación te dice en qué paso se torció la cuenta.

Ejercicio 1: identificación rápida
Sin resolver la ecuación, ¿cuántas soluciones reales tiene 2x2−8x+8=02x^2 - 8x + 8 = 0?
Ejercicio 2: un parámetro
¿Para qué valores de kk la ecuación x2−6x+k=0x^2 - 6x + k = 0 no tiene ninguna solución real?
Ejercicio 3: el túnel (tipo PISA)
El techo de un túnel sigue la parábola h(x)=−x2+8xh(x) = -x^2 + 8x (en metros). Un camión con una carga de 18 m de alto necesita pasar. ¿Cabe?
Ejercicio 4: sin cortes
¿Cuántos ceros tiene f(x)=2x2+x+3f(x) = 2x^2 + x + 3?
Ejercicio 5: la huerta más grande
Con 24 m de malla contra un muro, el área de la huerta es x(24−2x)x(24 - 2x). Un estudiante quiere 80 m² y plantea x2−12x+40=0x^2 - 12x + 40 = 0. ¿Qué dice el discriminante?