32. El Discriminante: ¿Cuántas soluciones hay?

Aprende a usar una pequeña parte de la fórmula cuadrática para saber rápidamente si una ecuación tiene dos, una o ninguna solución real.

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32. El Discriminante y Naturaleza de las Raíces

Cuando usamos la Fórmula General para resolver ecuaciones cuadráticas, hay una parte "VIP" que decide todo. Se llama el Discriminante y se representa con la letra griega Delta (Δ\Delta).

Dentro de la raíz cuadrada...

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

Como está dentro de una raíz cuadrada (Δ\sqrt{\Delta}), su signo es vital, porque en los números reales no podemos sacar raíces de números negativos.

Visualización Gráfica

Usa el control deslizante para cambiar el valor de cc (la altura de la parábola) y observa cómo cambia el discriminante y el número de veces que la línea cruza el eje horizontal.

Laboratorio del Discriminante

Ecuación: x2+2x+c=0x^2 + 2x + c = 0

Baja la parábolaSube la parábola

Cálculo de Delta

Δ=(2)2−4(1)(0)\Delta = (2)^2 - 4(1)(0)
Δ=4−0\Delta = 4 - 0
Δ=4\Delta = 4
Positivo (> 0)
2 Soluciones Reales (Corta en 2 puntos)
Eje X = Nivel del suelo (0)
Positivo (>0>0)

La raíz existe y tiene dos valores (±\pm).
Resultado: 2 soluciones reales distintas.

Cero (=0=0)

La raíz de 0 es 0. Sumar o restar 0 da lo mismo.
Resultado: 1 solución real (doble).

Negativo (<0<0)

No existe raíz real de un negativo.
Resultado: 0 soluciones reales (son complejas).

Práctica

Ejercicio 1: Análisis Rápido

Sin resolver la ecuación, determina cuántas soluciones tiene:
3x2−5x+4=03x^2 - 5x + 4 = 0

Ver Respuesta

Identificamos a=3,b=−5,c=4a=3, b=-5, c=4.

Calculamos Δ=(−5)2−4(3)(4)\Delta = (-5)^2 - 4(3)(4)

Δ=25−48=−23\Delta = 25 - 48 = -23

Como es negativo, NO tiene soluciones reales.

Ejercicio 2: Contexto Real

Un ingeniero está diseñando un puente. El arco del puente sigue la ecuación h=−x2+10xh = -x^2 + 10x. Un camión de 26 metros de altura quiere pasar por debajo.

Usa el discriminante para saber si es posible que el camión pase (es decir, ¿alcanza el arco alguna vez la altura de 26m?).

Ver Análisis

1. Igualamos la altura del puente a la del camión: −x2+10x=26-x^2 + 10x = 26.

2. Reordenamos a forma estándar: −x2+10x−26=0-x^2 + 10x - 26 = 0.

3. Calculamos Δ=(10)2−4(−1)(−26)\Delta = (10)^2 - 4(-1)(-26).

4. Δ=100−104=−4\Delta = 100 - 104 = -4.

Interpretación: Como Δ<0\Delta < 0, la ecuación no tiene solución. El puente NUNCA alcanza los 26 metros. El camión chocaría (o más bien, es más alto que el puente).

Concepto Clave

"El signo de b²-4ac es el semáforo que nos dice si hay dos caminos, uno, o ninguno en el mundo real."