31. Ecuaciones de segundo grado incompletas

Aprende a identificar y resolver ecuaciones cuadráticas cuando faltan términos, ahorrando tiempo y esfuerzo.

Estudiar en la plataforma interactiva

Para empezar

¿Cuánto tarda en caer?

Si se deja caer una piedra desde 45 m de altura, más o menos un edificio de 15 pisos, y no se cuenta el aire, su altura a los tt segundos es h=45−5t2h = 45 - 5t^2 (usando g≈10g \approx 10 m/s²). Llega al suelo cuando 45−5t2=045 - 5t^2 = 0. A esa ecuación le falta el término en tt: es una incompleta, y se resuelve sin fórmula general.

Momento animado

Las dos incompletas en una parábola

Dale a reproducir o arrastra la barra. Mira qué pasa con los cortes cuando falta un término.

Parábola que pasa de y = x² − 9 a y = x² − 3x−4−2024−10−8−6−4−2024
  • La parábola
Etapa 1 de 4
Etapas

Etapa 1 de 4 · Sin término en x

Dibujamos y=x2−9y = x^2 - 9. Le falta el término en xx: es una incompleta. Los cortes con el eje son las soluciones de x2−9=0x^2 - 9 = 0.

Cortes: x = −3 y x = 3

¿Cuándo es Incompleta?

Recordemos la forma general: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. Una ecuación es incompleta cuando el coeficiente bb o el término independiente cc son iguales a cero.

Incompleta Pura

Falta el término lineal (b=0b = 0).

ax2+c=0ax^2 + c = 0
Incompleta Mixta

Falta el término independiente (c=0c = 0).

ax2+bx=0ax^2 + bx = 0

Concepto Clave

"El término cuadrático (ax²) NUNCA puede faltar, de lo contrario la ecuación dejaría de ser de segundo grado."

Domina los Métodos

Selecciona el tipo de ecuación para ver el procedimiento optimizado.

Selector de Atajos

¿Qué término falta en tu ecuación?

Ecuación Ejemplo
x2−16=0x^2 - 16 = 0
1

1. Despejar el término cuadrático

x2=16x^2 = 16
2

2. Aplicar raíz cuadrada

x=±16x = \pm\sqrt{16}
3

3. Obtener soluciones

x1=4,x2=−4x_1 = 4, \quad x_2 = -4

¿Por qué usar esto? Resolver estas ecuaciones con la fórmula general es como "matar una mosca con un cañón". Estos métodos son más rápidos y reducen el riesgo de errores con signos.

El Caso de las Raíces Imaginarias

En las ecuaciones puras (ax2+c=0ax^2 + c = 0), debemos tener cuidado al despejar. Si al final intentas sacar la raíz cuadrada de un número negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

Ejemplo Crítico:

x2+9=0⇒x2=−9⇒x=±−9x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = -9 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-9}

Como no existe un número real que multiplicado por sí mismo dé -9, decimos que las soluciones son imaginarias (±3i\pm 3i).

Ejemplo resuelto: la piedra que cae

¿A los cuántos segundos llega al suelo una piedra que se deja caer desde 45 m, con h=45−5t2h = 45 - 5t^2?

  1. 1

    Plantear

    En el suelo la altura es 0.
    45−5t2=045 - 5t^2 = 0
  2. 2

    Despejar el cuadrado

    Se suma 5t² y se divide entre 5.
    t2=9t^2 = 9
  3. 3

    Sacar raíz, con los dos signos

    t=3ot=−3t = 3 \quad\text{o}\quad t = -3
  4. 4

    Interpretar

    El tiempo después de soltarla no es negativo: la piedra llega a los 3 s. Con g = 9,8 m/s², la cuenta da unos 3,03 s: el 10 era una aproximación.

Práctica de Rapidez

Ejercicio 1: Mixta

Ecuación Cuadrática Mixta

Resuelve la ecuación cuadrática sin término independiente:
3x2+12x=03x^2 + 12x = 0
Ejercicio 1: Factor Común en Incompleta Mixta
Al resolver 3x2+12x=03x^2 + 12x = 0 mediante factorización, ¿cuáles son las dos soluciones reales?
Ejercicio 2: Pura

Ecuación Cuadrática Pura

Halla las raíces de la ecuación sin término lineal:
2x2−50=02x^2 - 50 = 0
Ejercicio 2: Despeje Directo y Raíz Doble Signo
Al despejar xx en 2x2−50=02x^2 - 50 = 0, ¿cuál es el conjunto solución?
Desafío tipo PISA

La Caída Libre

Un objeto se deja caer desde una altura de 80 metros80 \text{ metros}. Su altura en función del tiempo tt en segundos es:
h(t)=80−5t2h(t) = 80 - 5t^2
¿Cuánto tiempo tardará el objeto en impactar contra el suelo (h(t)=0h(t) = 0)?
Ejercicio 3: Tiempo de Caída Libre
Al resolver la ecuación física 80−5t2=080 - 5t^2 = 0, ¿cuál es el tiempo de vuelo del objeto?

Tres más

Ejercicio 4: no perder el cero
Resuelve 3x2=12x3x^2 = 12x.
Ejercicio 5: un cuadrado que no puede ser negativo
¿Cuántas soluciones reales tiene 2x2+18=02x^2 + 18 = 0?
Ejercicio 6: con decimales
Resuelve x2=0,25x^2 = 0{,}25.