31. Ecuaciones de segundo grado incompletas

¿Cuándo es Incompleta?

Recordemos la forma general: $ax^2 + bx + c = 0$ . Una ecuación es incompleta cuando el coeficiente $b$ o el término independiente $c$ son iguales a cero.

Incompleta Pura

Falta el término lineal ( $b = 0$ ).

ax^2 + c = 0

Incompleta Mixta

Falta el término independiente ( $c = 0$ ).

ax^2 + bx = 0

Concepto Clave

"El término cuadrático (ax²) NUNCA puede faltar, de lo contrario la ecuación dejaría de ser de segundo grado."

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¿Qué término falta en tu ecuación?

Ecuación Ejemplo

x^2 - 16 = 0

1. Despejar el término cuadrático

x^2 = 16

2. Aplicar raíz cuadrada

x = \pm\sqrt{16}

3. Obtener soluciones

x_1 = 4, \quad x_2 = -4

¿Por qué usar esto? Resolver estas ecuaciones con la fórmula general es como "matar una mosca con un cañón". Estos métodos son más rápidos y reducen el riesgo de errores con signos.

El Caso de las Raíces Imaginarias

En las ecuaciones puras ( $ax^2 + c = 0$ ), debemos tener cuidado al despejar. Si al final intentas sacar la raíz cuadrada de un número negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

Ejemplo Crítico:

x^2 + 9 = 0 \Rightarrow x^2 = -9 \Rightarrow x = \pm\sqrt{-9}

Como no existe un número real que multiplicado por sí mismo dé -9, decimos que las soluciones son imaginarias ( $\pm 3i$ ).

Práctica de Rapidez

Ejercicio 1: Mixta

Resuelve mentalmente:
$3x^2 + 12x = 0$

Ver solución

1. Factorizamos $3x$ : $3x(x + 4) = 0$

2. Primera solución: $3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

3. Segunda solución: $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$

Ejercicio 2: Pura

Halla las raíces de:
$2x^2 - 50 = 0$

Ver solución

1. Despejamos: $2x^2 = 50 \Rightarrow x^2 = 25$

2. Raíz cuadrada: $x = \pm\sqrt{25}$

3. Resultados: $x_1 = 5, x_2 = -5$

Desafío PISA

La Caída Libre

Un objeto se deja caer desde una altura de $80 \text{ metros}$ . La fórmula que describe su altura $h$ en función del tiempo $t$ (en segundos) es aproximadamente:

h(t) = 80 - 5t^2

¿Cuánto tiempo tardará el objeto en tocar el suelo? (Pista: En el suelo, la altura

h = 0

Resolver el misterio

Paso 1: Plantear la ecuación.
Queremos saber cuándo $h(t) = 0$ , así que: $80 - 5t^2 = 0$ .

Paso 2: Identificar el tipo.
Es una ecuación incompleta pura (no hay término con $t$ lineal).

Paso 3: Despejar.
$5t^2 = 80 \Rightarrow t^2 = \frac{80}{5} \Rightarrow t^2 = 16$ .

Resultado:

t = \sqrt{16} = 4 \text{ segundos}

(Descartamos el valor negativo porque el tiempo no puede ser negativo en este contexto).