30. Ecuaciones de segundo grado completas

Domina la resolución de ecuaciones cuadráticas completas utilizando el método más potente del álgebra.

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Para empezar

Una huerta de 40 m², ¿con qué medidas?

Un colegio de una vereda de Nariño tiene 24 m de malla para cercar una huerta rectangular contra un muro, que hace de cuarto lado. Si los dos lados que salen del muro miden xx metros, el lado paralelo mide 24−2x24 - 2x y el área es x(24−2x)x(24 - 2x). Para que el área sea de 40 m² hay que resolver x(24−2x)=40x(24 - 2x) = 40: una ecuación de segundo grado. Tiene dos respuestas, y las dos sirven.

Momento animado

La fórmula general, dibujada

Mira de dónde sale cada parte de la fórmula: el eje de simetría y los dos brazos del ±.

Parábola y = x² − 2x − 3. Corta el eje x en dos puntos.−3−2−1012345−5−4−3−2−101234
  • Corte con el eje x (una solución)
c = −3
Etapas

Etapa 1 de 6 · Dibujar la curva

Dibujamos y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 punto por punto. Donde la curva cruza el eje x, yy vale 0: esas x son las soluciones de x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0.

y = x² − 2x − 3

Δ = 4 − 4c = 16 > 0

Dibujando la curva…

La Forma Completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando tiene todos sus términos: el cuadrático, el lineal y el independiente. Su forma estándar es:

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Donde a≠0a \neq 0. Si falta bb o cc, la ecuación es incompleta. Para resolver las completas, el método universal es la Fórmula General.

Concepto Clave

"En una ecuación completa, los coeficientes a, b y c son todos distintos de cero."

La Fórmula General

Conocida popularmente en algunos países como "la chicharronera", esta fórmula permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
El símbolo ±\pm

Indica que obtendremos dos soluciones: una usando la suma y otra usando la resta de la raíz cuadrada.

Orden de Operaciones

Primero calcula lo que está dentro de la raíz (el discriminante), luego la raíz, y finalmente divide.

Laboratorio de Parábolas

Observa cómo el cambio en los coeficientes afecta directamente a las soluciones y al valor dentro de la raíz.

Laboratorio

Calculadora de raíces con la fórmula general

Mueve aa, bb y cc y mira qué le pasa a la parábola y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c y a sus cortes con el eje x.

Parábola y = x² - 5x + 6. Δ = 1 > 0: la parábola corta el eje x en dos puntos, las dos raíces reales.−6−4−20246−6−5−4−3−2−10123456

Δ = 1 > 0: la parábola corta el eje x en dos puntos, las dos raíces reales.

Tu ecuación

x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0

a = 1

Si a > 0 la parábola abre hacia arriba; si a < 0, hacia abajo. a no puede ser 0: sería una ecuación de primer grado.

b = -5
c = 6

c es el corte con el eje y: sube o baja la parábola.

El discriminante

Δ=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

Fórmula general

x=−b±Δ2a=−(−5)±12⋅1x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}
x=5±12x = \frac{5 \pm 1}{2}

Raíz 1

x1=2x_1 = 2

Raíz 2

x2=3x_2 = 3

Vértice (punto violeta)

V=(2,5; −0,25)V = \left(2{,}5;\ -0{,}25\right)

Ejemplo resuelto: la huerta de 40 m²

Con 24 m de malla contra un muro, ¿qué medida xx deben tener los lados que salen del muro para que el área sea de 40 m²?

  1. 1

    Plantear e igualar a cero

    De x(24 − 2x) = 40: se distribuye, se pasa el 40 a la izquierda (−2x² + 24x − 40 = 0) y se divide todo entre −2.
    x2−12x+20=0x^2 - 12x + 20 = 0
  2. 2

    Leer los coeficientes

    Con su signo: b es −12.
    a=1,b=−12,c=20a = 1, \quad b = -12, \quad c = 20
  3. 3

    Calcular el discriminante

    (−12)² − 4 · 1 · 20 = 144 − 80.
    Δ=64\Delta = 64
  4. 4

    Aplicar la fórmula general

    El eje está en −b/(2a) = 6 y los brazos del ± miden √64/2 = 4: x₁ = 2 y x₂ = 10.
    x=12±82x = \frac{12 \pm 8}{2}
  5. 5

    Comprobar e interpretar

    Con x = 2, el lado paralelo mide 20 m y el área es 2 · 20 = 40 m². Con x = 10, mide 4 m y el área es 10 · 4 = 40 m². Las dos huertas sirven: una angosta y larga, otra ancha y corta.

El Discriminante (Δ)

La expresión b2−4acb^2 - 4ac se llama discriminante y nos dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación antes de resolverla:

Δ>0\Delta > 0

Dos soluciones reales y distintas.

Δ=0\Delta = 0

Una solución real (raíz doble).

Δ<0\Delta < 0

Sin soluciones reales (raíces complejas/imaginarias).

Desafíos de Aplicación

Nivel Técnico

Resolución Directa Cuadrática

Resuelve la ecuación cuadrática completa:
x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
Ejercicio 1: Fórmula Cuadrática y Discriminante
Aplicando la fórmula general a x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0, ¿cuáles son las dos soluciones reales?
Contexto tipo PISA

El Área del Jardín

Un jardín rectangular tiene un área de 40 m240 \text{ m}^2. Si el largo mide 3 metros3 \text{ metros} más que el ancho, el modelo es x(x+3)=40x(x + 3) = 40.
Ejercicio 2: Geometría Aplicada del Jardín
Al resolver la ecuación cuadrática x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0 y descartar la solución geométrica no física, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?
Ejercicio 3: la huerta de 64 m²
Con la misma huerta (24 m de malla contra un muro), ¿qué medidas xx de los lados que salen del muro dan un área de 64 m²? La ecuación es x(24−2x)=64x(24 - 2x) = 64.
Ejercicio 4: soluciones con raíz
Resuelve x2+x−1=0x^2 + x - 1 = 0 con la fórmula general.
Ejercicio 5: con a distinto de 1
Resuelve 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 0.