30. Ecuaciones de segundo grado completas

La Forma Completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando tiene todos sus términos: el cuadrático, el lineal y el independiente. Su forma estándar es:

ax^2 + bx + c = 0

Donde $a \neq 0$ . Si falta $b$ o $c$ , la ecuación es incompleta. Para resolver las completas, el método universal es la Fórmula General.

Concepto Clave

"En una ecuación completa, los coeficientes a, b y c son todos distintos de cero."

La Fórmula General

Conocida popularmente en algunos países como "la chicharronera", esta fórmula permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

El símbolo $\pm$

Indica que obtendremos dos soluciones: una usando la suma y otra usando la resta de la raíz cuadrada.

Orden de Operaciones

Primero calcula lo que está dentro de la raíz (el discriminante), luego la raíz, y finalmente divide.

Laboratorio de Parábolas

Observa cómo el cambio en los coeficientes afecta directamente a las soluciones y al valor dentro de la raíz.

Calculadora de Raíces Dinámica

Modifica los coeficientes de la forma $ax^2 + bx + c = 0$

Coeficiente a: 1

Coeficiente b: -5

Coeficiente c: 6

Tu Ecuación Actual

x^2 -5x + 6 = 0

Discriminante (Δ)

Raíz $x_1$

3.00

Raíz $x_2$

2.00

El Discriminante (Δ)

La expresión $b^2 - 4ac$ se llama discriminante y nos dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación antes de resolverla:

\Delta > 0

Dos soluciones reales y distintas.

\Delta = 0

Una solución real (raíz doble).

\Delta < 0

Sin soluciones reales (raíces complejas/imaginarias).

Desafíos de Aplicación

Nivel Técnico

Resolución Directa

Resuelve la ecuación: $x^2 - 5x + 6 = 0$ usando la fórmula general.

Ver procedimiento

1. Identificamos: $a=1, b=-5, c=6$

2. Discriminante: $(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

3. Aplicamos fórmula: $x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2(1)}$

x_1 = 3, \quad x_2 = 2

Contexto PISA

El Área del Jardín

Un jardín rectangular tiene un área de $40 \text{ m}^2$ . Si el largo mide $3 \text{ metros}$ más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?

Analizar situación

Modelado: Sea $x$ el ancho. El largo es $x + 3$ .

Ecuación: $x(x + 3) = 40 \Rightarrow x^2 + 3x - 40 = 0$

Resolución: Usando la fórmula general con $a=1, b=3, c=-40$ , obtenemos $x = 5$ y $x = -8$ .

Ancho:

5 \text{ m}

, Largo:

8 \text{ m}

(Descartamos el -8 por ser una medida física)