40. Ecuaciones logarítmicas: aplicación de propiedades

Para empezar

¿Qué tanto es 1,7 puntos de magnitud?

El 25 de enero de 1999, un sismo de magnitud 6,1 sacudió el Eje Cafetero. El 16 de abril de 2016, uno de 7,8 golpeó la costa de Ecuador (magnitudes del Servicio Geológico de Estados Unidos, USGS). La magnitud es un logaritmo: 1,7 puntos más son unas $10^{1{,}5 \cdot 1{,}7} \approx 355$ veces más energía. Las escalas logarítmicas (la magnitud, los decibeles, el pH) llevan a ecuaciones con logaritmos, y estas tienen una trampa que vale la pena ver moverse. Por eso existen normas de construcción sismorresistente como la NSR-10.

Momento animado

La solución que aparece de la nada

Mira qué curva corta la recta y = 3 y en dónde. Una de las dos soluciones nace al transformar la ecuación.

$\log_2 x + \log_2(x-2)$
$\log_2[x(x-2)]$
$y = 3$

AvanceEtapa 1 de 4

Etapas

Etapa 1 de 4 · La ecuación

Dibujamos

y = \log_2 x + \log_2(x - 2)

. Solo existe donde los dos argumentos son positivos, para

x > 2

. Corta la recta

y = 3

x = 4

La Incógnita Atrapada

Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita forma parte del argumento de un logaritmo. Para resolverlas, el objetivo es "liberar" a la $x$ usando la definición fundamental:

\log_b(A) = C \iff b^C = A

La Restricción Sagrada

El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero.
$\log(x) \implies x > 0$ . Cualquier resultado que haga el argumento cero o negativo debe ser descartado.

Concepto Clave

"Resolver una ecuación logarítmica consiste en reducir todos los logaritmos a uno solo para aplicar la forma exponencial."

Propiedades de Compresión

Para resolver ecuaciones con múltiples términos logarítmicos, usamos estas tres leyes para "comprimirlos" en uno solo:

Producto

\log A + \log B = \log(AB)

Cociente

\log A - \log B = \log(A/B)

Potencia

n \log A = \log(A^n)

Laboratorio de Resolución

Sigue el proceso lógico para resolver una ecuación que requiere condensación y filtrado de soluciones.

Condensador de Propiedades

De múltiples logaritmos a una sola base

1. La Ecuación Original

Tenemos una suma de logaritmos. No podemos despejar x directamente mientras esté separada.

\log(x) + \log(x - 3) = 1

Ejemplo resuelto: reunir, resolver y comprobar

Resuelve $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$ .

1
Reunir en un solo logaritmo
La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto.
$\log_2 \left[x(x - 2)\right] = 3$
2
Pasar a la forma exponencial
Si el logaritmo en base 2 vale 3, el argumento es 2³.
$x(x - 2) = 2^3 = 8$
3
Igualar a cero y factorizar
x² − 2x − 8 = 0 se factoriza así:
$(x - 4)(x + 2) = 0$
4
Candidatas
$x = 4 \quad\text{o}\quad x = -2$
5
Comprobar en la ecuación original
Con x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Con x = −2 aparecería log₂(−2), que no existe. La única solución es x = 4.

Práctica de Propiedades

Uso del Cociente

Ejercicio 1

Resuelve la ecuación logarítmica:

\log_2(x + 4) - \log_2(x - 2) = 3

Propiedad de Potencia y Dominio

Ejercicio 2

Resuelve la ecuación identificando soluciones válidas:

2 \log(x) = \log(x + 6)

Desafío tipo PISA

Escala de Richter

La magnitud $M$ de un terremoto se relaciona con la energía liberada $E$ (en ergios) mediante la fórmula:

\log(E) = 11{,}8 + 1{,}5M

Magnitud Sísmica

Si un terremoto libera $10^{16{,}3}$ ergios de energía sísmica, ¿cuál es su magnitud en la escala de Richter?

Tres más, comprobando

Ejercicio 4: un solo logaritmo

Resuelve

\log_3 (2x + 1) = 2

Ejercicio 5: dos candidatas

Resuelve

\log x + \log(x + 3) = 1

(logaritmos en base 10).

Ejercicio 6: ¿tiene razón Valentina?

Valentina resolvió

\log(x - 4) + \log(x - 1) = 1

y obtuvo dos soluciones:

x = 6

x = -1

. ¿Qué le dirías?