40. Ecuaciones logarítmicas: aplicación de propiedades

Aprende a utilizar las leyes de los logaritmos para simplificar ecuaciones y encontrar soluciones válidas dentro del dominio real.

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La Incógnita Atrapada

Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita forma parte del argumento de un logaritmo. Para resolverlas, el objetivo es "liberar" a la xx usando la definición fundamental:

log⁡b(A)=C  ⟺  bC=A\log_b(A) = C \iff b^C = A
La Restricción Sagrada

El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero.
log⁡(x)  ⟹  x>0\log(x) \implies x > 0. Cualquier resultado que haga el argumento cero o negativo debe ser descartado.

Concepto Clave

"Resolver una ecuación logarítmica consiste en reducir todos los logaritmos a uno solo para aplicar la forma exponencial."

Propiedades de Compresión

Para resolver ecuaciones con múltiples términos logarítmicos, usamos estas tres leyes para "comprimirlos" en uno solo:

Producto
log⁡A+log⁡B=log⁡(AB)\log A + \log B = \log(AB)
Cociente
log⁡A−log⁡B=log⁡(A/B)\log A - \log B = \log(A/B)
Potencia
nlog⁡A=log⁡(An)n \log A = \log(A^n)

Laboratorio de Resolución

Sigue el proceso lógico para resolver una ecuación que requiere condensación y filtrado de soluciones.

Condensador de Propiedades

De múltiples logaritmos a una sola base

1. La Ecuación Original

Tenemos una suma de logaritmos. No podemos despejar x directamente mientras esté separada.

log⁡(x)+log⁡(x−3)=1\log(x) + \log(x - 3) = 1

Práctica de Propiedades

Ejercicio 1

Uso del Cociente

Resuelve: log⁡2(x+4)−log⁡2(x−2)=3\log_2(x + 4) - \log_2(x - 2) = 3

Ver solución

1. Comprimimos: log⁡2(x+4x−2)=3\log_2(\frac{x+4}{x-2}) = 3.

2. Exponencial: x+4x−2=23=8\frac{x+4}{x-2} = 2^3 = 8.

3. Despejamos: x+4=8x−16  ⟹  20=7xx + 4 = 8x - 16 \implies 20 = 7x.

Solución: x=207x = \frac{20}{7}
Ejercicio 2

Propiedad de Potencia

Resuelve: 2log⁡(x)=log⁡(x+6)2 \log(x) = \log(x + 6)

Ver solución

1. Subimos el 2: log⁡(x2)=log⁡(x+6)\log(x^2) = \log(x + 6).

2. Igualamos argumentos: x2=x+6x^2 = x + 6.

3. Cuadrática: x2−x−6=0  ⟹  (x−3)(x+2)=0x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0.

Solución: x=3x = 3

(x = -2 se descarta por dominio)

Desafío PISA

Escala de Richter

La magnitud MM de un terremoto se relaciona con la energía liberada EE (en ergios) mediante la fórmula:

log⁡(E)=11.8+1.5M\log(E) = 11.8 + 1.5M
Si un terremoto libera 1016.310^{16.3} ergios de energía, ¿cuál es su magnitud en la escala de Richter?

Calcular magnitud

1. Sustituimos E: log⁡(1016.3)=11.8+1.5M\log(10^{16.3}) = 11.8 + 1.5M.

2. Por propiedad de logaritmo decimal: 16.3=11.8+1.5M16.3 = 11.8 + 1.5M.

3. Despejamos: 16.3−11.8=1.5M  ⟹  4.5=1.5M16.3 - 11.8 = 1.5M \implies 4.5 = 1.5M.

Resultado:

M=3.0M = 3.0

El terremoto tiene una magnitud de 3.0 Richter.