39. Ecuaciones exponenciales II: uso de logaritmos

Para empezar

¿Cuánto tiempo hasta que se pueda tomar?

Un tinto recién hecho está a 85 °C; a 40 °C ya se puede tomar sin quemarse. Si la diferencia con la cocina baja 10% cada minuto, la temperatura es $T(t) = 20 + 65 \cdot 0{,}9^{\,t}$ . Preguntar «¿cuándo llega a 40 °C?» es preguntar por el exponente $t$ , y 20/65 no es una potencia de 0,9 que se vea a ojo. Para despejar un exponente así están los logaritmos. Puedes comprobar el modelo en tu casa con un termómetro de cocina.

Momento animado

¿Cuándo llega el tinto a 40 °C?

El reloj es el del tinto: cada segundo de la animación son unos minutos. Se detiene solo cuando llega a 40 °C.

Temperatura del tinto
40 °C
La cocina (20 °C)

Minutos desde que se sirviót = 0,0 min

Etapas

Etapa 1 de 5 · Recién servido

Dayana sirve un tinto a 85 °C en una cocina que está a 20 °C. Al comienzo, el tinto está 65 °C más caliente que la cocina.

Temperatura del tinto

85 °C

Más caliente que la cocina

65 °C

Más allá de las bases iguales

En la lección anterior aprendimos que si $2^x = 8$ , entonces $x = 3$ porque $8 = 2^3$ . Pero, ¿qué sucede si tenemos $2^x = 10$ ?

El número 10 no es una potencia entera de 2. Aquí es donde necesitamos los logaritmos, que actúan como la operación inversa de la exponenciación, permitiéndonos "despejar" el exponente.

La Propiedad Clave

$\log(a^b) = b \cdot \log(a)$
Esta propiedad es el "ascensor" del álgebra: permite que un exponente baje al nivel del suelo para ser operado como una multiplicación normal.

Concepto Clave

"Si no puedes igualar las bases, aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación."

Visualizador de Resolución

Observa cómo el logaritmo transforma una posición inalcanzable (el exponente) en una simple división.

Laboratorio de Logaritmos

Técnica: Descenso de Exponentes

1. El Conflicto

Queremos resolver esta ecuación, pero el 7 no es una potencia de 2. No podemos igualar bases.

2^x = 7

Ejemplo resuelto: el tinto a 40 °C

Con $T(t) = 20 + 65 \cdot 0{,}9^{\,t}$ (en °C, con $t$ en minutos), ¿en qué momento el tinto llega a 40 °C?

1
Plantear la ecuación
$20 + 65 \cdot 0{,}9^{\,t} = 40$
2
Dejar sola la potencia
Se resta 20 y se divide entre 65, como en cualquier despeje.
$0{,}9^{\,t} = \frac{20}{65}$
3
Aplicar logaritmo a los dos lados
El logaritmo de una potencia baja el exponente a multiplicar.
$t \cdot \ln 0{,}9 = \ln \frac{20}{65}$
4
Despejar t
Con calculadora: −1,1787 ÷ (−0,1054) ≈ 11,2.
$t = \frac{\ln(20/65)}{\ln 0{,}9} \approx 11{,}2$
5
Comprobar e interpretar
T(11) ≈ 40,4 °C y T(12) ≈ 38,4 °C: llega a 40 °C entre los minutos 11 y 12, a los 11,2 minutos.

¿Qué logaritmo usar?

Puedes usar cualquier base de logaritmo, pero en la práctica y en las calculadoras científicas, los más comunes son:

Logaritmo Común ( $\log$ )

Base 10. Es el estándar para cálculos generales.

Logaritmo Natural ( $\ln$ )

Base $e \approx 2{,}718$ . Esencial en cálculo y ciencias.

Nota: El resultado será el mismo sin importar cuál elijas, siempre que apliques el mismo en ambos lados.

Práctica de Logaritmos

Despeje con Exponente Compuesto

Ejercicio 1

Resuelve para $x$ aplicando logaritmos:

5^{x+1} = 20

Bases Diferentes

Ejercicio 2

Resuelve la ecuación con incógnita en ambos miembros:

3^x = 2^{x+2}

Desafío tipo PISA

Inversión y Tiempo

Una persona invierte $\$1\,000$ en una cuenta que paga un $5\%$ de interés anual compuesto. El monto total $A$ después de $t$ años se calcula con:

A = 1000(1{,}05)^t

Tiempo para Duplicar la Inversión

¿Cuántos años deben pasar para que la inversión inicial se duplique exactamente a $\$2\,000$ ?

¿Cuánto tiempo hasta que…?

Ejercicio 4: el tinto tibio

Con el modelo del tinto,

T(t) = 20 + 65 \cdot 0{,}9^{\,t}

, ¿a los cuántos minutos llega a 30 °C?

Ejercicio 5: base que no cuadra

Resuelve

5^x = 12

con cuatro decimales.

Ejercicio 6: la deuda «gota a gota»

Yuliana debe $300.000 a un prestamista informal que cobra 20% mensual, y no hace pagos (es una tasa de ejemplo del libro). La deuda a los

n

meses es

300\,000 \cdot 1{,}2^{\,n}

. ¿En qué mes supera por primera vez $1.000.000?