39. Ecuaciones exponenciales II: uso de logaritmos

Más allá de las bases iguales

En la lección anterior aprendimos que si $2^x = 8$ , entonces $x = 3$ porque $8 = 2^3$ . Pero, ¿qué sucede si tenemos $2^x = 10$ ?

El número 10 no es una potencia entera de 2. Aquí es donde necesitamos los logaritmos, que actúan como la operación inversa de la exponenciación, permitiéndonos "despejar" el exponente.

La Propiedad Clave

$\log(a^b) = b \cdot \log(a)$
Esta propiedad es el "ascensor" del álgebra: permite que un exponente baje al nivel del suelo para ser operado como una multiplicación normal.

Concepto Clave

"Si no puedes igualar las bases, aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación."

Visualizador de Resolución

Observa cómo el logaritmo transforma una posición inalcanzable (el exponente) en una simple división.

Laboratorio de Logaritmos

Técnica: Descenso de Exponentes

1. El Conflicto

Queremos resolver esta ecuación, pero el 7 no es una potencia de 2. No podemos igualar bases.

2^x = 7

¿Qué logaritmo usar?

Puedes usar cualquier base de logaritmo, pero en la práctica y en las calculadoras científicas, los más comunes son:

Logaritmo Común ( $\log$ )

Base 10. Es el estándar para cálculos generales.

Logaritmo Natural ( $\ln$ )

Base $e \approx 2.718$ . Esencial en cálculo y ciencias.

Nota: El resultado será el mismo sin importar cuál elijas, siempre que apliques el mismo en ambos lados.

Práctica de Logaritmos

Ejercicio 1

Despeje con Exponente Compuesto

Resuelve para $x$ : $5^{x+1} = 20$

Ver solución

1. Aplicamos log: $(x+1) \log(5) = \log(20)$ .

2. Dividimos: $x + 1 = \frac{\log(20)}{\log(5)}$ .

3. Calculamos: $x + 1 \approx 1.861$ .

Solución:

x \approx 0.861

Ejercicio 2

Bases Diferentes

Resuelve: $3^x = 2^{x+2}$

Ver solución

1. $x \log(3) = (x+2) \log(2)$ .

2. $x \log(3) = x \log(2) + 2 \log(2)$ .

3. $x(\log(3) - \log(2)) = 2 \log(2)$ .

Solución:

x = \frac{2 \log(2)}{\log(3) - \log(2)} \approx 3.419

Desafío PISA

Inversión y Tiempo

Una persona invierte $$1,000$ en una cuenta que paga un $5\%$ de interés anual compuesto. El monto total $A$ después de $t$ años se calcula con:

A = 1000(1.05)^t

¿Cuántos años deben pasar para que la inversión se duplique (es decir, llegue a

$2,000

Calcular tiempo

1. Planteamos: $2000 = 1000(1.05)^t$ .

2. Simplificamos: $2 = (1.05)^t$ .

3. Aplicamos logaritmos: $\log(2) = t \log(1.05)$ .

Resultado:

t = \frac{\log(2)}{\log(1.05)} \approx 14.2 \text{ años}

Se requieren aproximadamente 14 años y 3 meses.