37. Ecuaciones irracionales con múltiples raíces

Para empezar

Dos columpios

Un columpio es un péndulo: con cadenas de $L$ metros tarda unos $2\sqrt{L}$ segundos en ir y volver (la fórmula de física es $2\pi\sqrt{L/g}$ , y con $g \approx 9{,}8$ da unos 2,01√L). En un parque hay dos columpios: las cadenas de uno miden 5 m más que las del otro, y el largo tarda 2 segundos más en cada vaivén. ¿Cuánto miden? Aparecen dos raíces en la misma ecuación.

Momento animado

Dos raíces, un corte

Mira dónde se cortan las curvas antes y después de aislar un radical.

Curva de cada etapa
$y = 1 + \sqrt{x}$

AvanceEtapa 1 de 3

Etapas

Etapa 1 de 3 · Una curva y una recta

La curva

y = \sqrt{x + 5} - \sqrt{x}

baja despacio. La recta

y = 1

la corta en un solo punto: la solución de

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1

Divide y Vencerás

Cuando una ecuación tiene dos raíces cuadradas, elevar al cuadrado una sola vez no es suficiente para eliminarlas todas. El proceso genera un término mixto que conserva un radical.

El Error Común

Muchos estudiantes creen que $(\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = A + B$ .
¡Falso! La regla correcta es: $A + 2\sqrt{AB} + B$ . Ese término central es el que nos obliga a elevar al cuadrado una segunda vez.

Concepto Clave

"Para resolver ecuaciones con dos raíces, debemos aislar una raíz, elevar al cuadrado, simplificar, aislar la raíz restante y elevar de nuevo."

Algoritmo de Resolución

Observa cómo "limpiamos" la ecuación paso a paso. Nota que cada elevación al cuadrado reduce el número de raíces.

Estrategia de Doble Eliminación

Resolviendo: $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$

1. Separar las Raíces

Nunca eleves al cuadrado con dos raíces en el mismo lado. Pasa una al otro miembro.

\sqrt{x + 5} = 5 - \sqrt{x}

Protocolo de Actuación

Aislamiento Inicial

Deja una raíz en cada miembro de la ecuación. Esto simplifica enormemente el desarrollo del binomio.

Primera Potenciación

Eleva al cuadrado. Obtendrás una ecuación con una sola raíz.

Segunda Potenciación

Aísla la raíz que quedó y eleva al cuadrado nuevamente para obtener una ecuación lineal o cuadrática.

Ejemplo resuelto: los dos columpios

Si el columpio corto mide $L$ metros, el largo mide $L + 5$ , y la diferencia de tiempos es de 2 segundos.

1
Plantear y simplificar
De 2√(L + 5) − 2√L = 2 se divide todo entre 2:
$\sqrt{L + 5} - \sqrt{L} = 1$
2
Aislar un radical
$\sqrt{L + 5} = 1 + \sqrt{L}$
3
Elevar al cuadrado
A la derecha va el doble producto: (1 + √L)² = 1 + 2√L + L.
$L + 5 = 1 + 2\sqrt{L} + L$
4
Despejar la raíz que queda
$\sqrt{L} = 2 \;\Rightarrow\; L = 4$
5
Comprobar
√9 − √4 = 3 − 2 = 1. Las cadenas miden 4 m y 9 m, y los vaivenes duran unos 4 s y 6 s.

Práctica de Alta Complejidad

Ejercicio Técnico

Doble Elevación al Cuadrado

Resuelve la ecuación con dos radicales:

\sqrt{x+4} = \sqrt{x-1} + 1

Ejercicio 1: Eliminación Sucesiva de Radicales

Al aislar los radicales sucesivamente y elevar al cuadrado, ¿cuál es la solución real de

\sqrt{x+4} = \sqrt{x-1} + 1

Cuidado: Extrañas

Verificación Crítica de Doble Raíz

Halla el conjunto de soluciones válidas para:

\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-3} = 2

Ejercicio 2: Soluciones Múltiples y Verificación

Al trasponer un radical, elevar al cuadrado y verificar las raíces obtenidas, ¿cuáles son soluciones legítimas?

Desafío tipo PISA

Ingeniería de Cables

Dos postes de 3 m y 4 m de altura están separados 7 m. Un cable va desde la punta del primero hasta un anclaje en el suelo, a

x

metros del primer poste, y de allí a la punta del segundo. Su longitud total es:

L = \sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(7-x)^2 + 16}

Si se dispone exactamente de

L = 10

metros de cable, ¿dónde puede ubicarse el anclaje?

Ejercicio 3: Modelado de Tendido de Cable

Resuelve

\sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(7-x)^2 + 16} = 10

y comprueba las soluciones. ¿Dónde puede ir el anclaje?

Tres más

Ejercicio 4: aislar y elevar

Resuelve

\sqrt{x + 7} - \sqrt{x} = 1

Ejercicio 5: dos candidatas que sirven

Resuelve

\sqrt{2x + 1} = 1 + \sqrt{x}

Ejercicio 6: una más

Resuelve

\sqrt{x + 9} = \sqrt{x} + 1