37. Ecuaciones irracionales con múltiples raíces

Divide y Vencerás

Cuando una ecuación tiene dos raíces cuadradas, elevar al cuadrado una sola vez no es suficiente para eliminarlas todas. El proceso genera un término mixto que conserva un radical.

El Error Común

Muchos estudiantes creen que $(\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = A + B$ .
¡Falso! La regla correcta es: $A + 2\sqrt{AB} + B$ . Ese término central es el que nos obliga a elevar al cuadrado una segunda vez.

Concepto Clave

"Para resolver ecuaciones con dos raíces, debemos aislar una raíz, elevar al cuadrado, simplificar, aislar la raíz restante y elevar de nuevo."

Algoritmo de Resolución

Observa cómo "limpiamos" la ecuación paso a paso. Nota que cada elevación al cuadrado reduce el número de raíces.

Estrategia de Doble Eliminación

Resolviendo: $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$

1. Separar las Raíces

Nunca eleves al cuadrado con dos raíces en el mismo lado. Pasa una al otro miembro.

\sqrt{x + 5} = 5 - \sqrt{x}

Protocolo de Actuación

Aislamiento Inicial

Deja una raíz en cada miembro de la ecuación. Esto simplifica enormemente el desarrollo del binomio.

Primera Potenciación

Eleva al cuadrado. Obtendrás una ecuación con una sola raíz.

Segunda Potenciación

Aísla la raíz que quedó y eleva al cuadrado nuevamente para obtener una ecuación lineal o cuadrática.

Práctica de Alta Complejidad

Ejercicio Técnico

Doble Elevación

Resuelve: $\sqrt{x+4} = \sqrt{x-1} + 1$

Ver solución paso a paso

1. Elevamos: $x + 4 = (x - 1) + 2\sqrt{x-1} + 1$ .

2. Simplificamos: $x + 4 = x + 2\sqrt{x-1} \implies 4 = 2\sqrt{x-1}$ .

3. Dividimos por 2: $2 = \sqrt{x-1}$ .

4. Elevamos de nuevo: $4 = x - 1 \implies x = 5$ .

Solución:

x = 5

Cuidado: Extrañas

Verificación Crítica

Resuelve: $\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-3} = 2$

Ver análisis

1. Aislamos: $\sqrt{2x+1} = 2 + \sqrt{x-3}$ .

2. Elevamos: $2x+1 = 4 + 4\sqrt{x-3} + x-3$ .

3. Simplificamos: $x = 4\sqrt{x-3}$ .

4. Elevamos de nuevo: $x^2 = 16(x-3) \implies x^2 - 16x + 48 = 0$ .

5. Raíces: $x = 12, x = 4$ . Ambas cumplen al verificar.

Soluciones:

x = 4, 12

Desafío PISA

Ingeniería de Cables

Dos postes de señales están separados por una distancia desconocida. Un cable de fibra óptica conecta la cima de ambos postes pasando por un punto en el suelo. La longitud total del cable está dada por la suma de dos distancias hipotenusas:

L = \sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(10-x)^2 + 16}

Si la longitud total del cable es

L = 13 \text{ metros}

, ¿a qué distancia

x

del primer poste toca el cable el suelo?

Resolver el sistema

1. Planteamos: $\sqrt{x^2 + 9} = 13 - \sqrt{(10-x)^2 + 16}$ .

2. Este problema es un clásico de optimización. Al elevar al cuadrado dos veces y simplificar, llegamos a una relación de semejanza de triángulos.

Resultado:

x = 4.28 \text{ metros}

El punto de contacto está a 4.28m del primer poste.