27. Descomposición en fracciones simples

Para empezar

Una suma que se cancela sola

Intenta sumar de memoria $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{90}$ , nueve fracciones de la forma $\frac{1}{k(k + 1)}$ . Con denominador común sería eterno. Pero cada una se puede partir: $\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .

Entonces la suma es $\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)$ , y casi todo se cancela: queda $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ . Partir una fracción en fracciones simples es eso. Mira por qué la partición es correcta.

Momento animado

Dos fracciones simples que suman una complicada

Dale a Reproducir: la flecha roja suma las dos fracciones en cada punto. Se detiene en x = 1 y en x = 2.

Valor de xx = 0,4

Etapas

Etapa 1 de 4 · Las piezas

Dos fracciones simples: $\frac{1}{x}$ (azul) y $-\frac{1}{x + 1}$ (roja). Cada una es fácil de entender sola.

x = 0{,}4

\frac{1}{x} = 2{,}5

-\frac{1}{x+1} \approx -0{,}71

\frac{1}{x(x+1)} \approx 1{,}79

El camino de regreso

Sumar fracciones algebraicas es un proceso directo: calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y compactamos todo en una sola expresión. Sin embargo, en Cálculo Integral y Transformadas de Laplace necesitamos exactamente el viaje en sentido contrario: tomar una fracción compuesta y descomponerla en fracciones elementales más fáciles de manejar.

Suma (Álgebra Básica)

\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}

Compactación hacia una sola fracción

Descomposición (Esta Lección)

\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}

Separación en fracciones simples

Regla de Oro Indispensable (Fracción Propia):

Antes de intentar cualquier descomposición, el grado del polinomio numerador $P(x)$ debe ser estrictamente menor que el grado del polinomio denominador $Q(x)$ : $\text{gr}(P) < \text{gr}(Q)$ .

Si $\text{gr}(P) \ge \text{gr}(Q)$ , primero debes efectuar una división polinómica larga: $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ .

Laboratorio Didáctico Interactivo

Descomposición Dinámica en Fracciones Simples

Estrategia:

Ejemplo 1: Factores Lineales DistintosFracción objetivo:

\frac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}

Técnica del tapado de Heaviside:

Para hallar A, tapamos (x − 1) y evaluamos en x = 1: $A = \frac{5(1) + 1}{1 + 2} = \frac{6}{3} = 2$

Para hallar B, tapamos (x + 2) y evaluamos en x = −2: $B = \frac{5(-2) + 1}{-2 - 1} = \frac{-9}{-3} = 3$

¿Por qué funciona? Porque al multiplicar mentalmente toda la ecuación por el factor anulador, ese término se aísla de inmediato sin necesidad de resolver un sistema de 2 × 2.

Descomposición Final Verificada

\frac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}

¡Identidad Demostrada!

Los 3 Casos de Descomposición

La estructura que asumes para los numeradores $A, B, C...$ depende exclusivamente del tipo de factores que tenga el denominador $Q(x)$ una vez factorizado completamente:

1Caso 1: Factores Lineales Distintos

(x - a)(x - b)

Cada factor lineal recibe una constante independiente en el numerador:

\frac{P(x)}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}

2Caso 2: Factores Lineales Repetidos

(x - a)^k

Se genera una fracción para cada potencia desde 1 hasta $k$ :

\frac{P(x)}{(x - a)^2(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2} + \frac{C}{x - b}

3Caso 3: Factor Cuadrático Irreducible

(x^2 + bx + c)

con

b^2 - 4c < 0

El numerador debe ser un polinomio de grado 1 ( $Ax + B$ ):

\frac{P(x)}{(x - a)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - a} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}

Ejemplo resuelto

Descompón 1/(x(x + 1))

1
Plantea una fracción simple por cada factor
$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$
2
Multiplica todo por x(x + 1)
$1 = A(x + 1) + Bx$
3
Escoge valores de x que borren una letra
Con x = 0 se borra B; con x = −1 se borra A.
$\begin{gathered} x = 0:\ 1 = A \\ x = -1:\ 1 = -B \end{gathered}$
4
Escribe la descomposición y compruébala
Con x = 1: 1/2 a la izquierda; 1 − 1/2 = 1/2 a la derecha.
$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Practica

Cinco ejercicios de selección

Después vienen los de respuesta abierta.

Ejercicio 1: con un factor 2

Descompón

\frac{1}{x(x + 2)}

en fracciones simples.

Ejercicio 2: el truco de los valores

1 = A(x + 1) + Bx

, ¿qué valor de x borra el término de B?

Ejercicio 3: hallar A

\frac{3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}

, ¿cuánto vale A?

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): la suma que se cancela

¿Cuánto vale

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): ¿cuál es cierta?

Para x distinto de 0 y de −1, ¿cuál igualdad es correcta?

Banco de Práctica Activa

Si tenemos la fracción $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$ , ¿podemos aplicar descomposición en fracciones parciales directamente sin dividir primero?

Ver la explicación completa

Respuesta: No.

El grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 2. Para aplicar fracciones parciales, la fracción debe ser propia (grado numerador < grado denominador).

Primero debemos dividir: $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = 1 + \frac{5}{x^2 - 4}$ , y luego descomponer $\frac{5}{x^2 - 4} = \frac{5}{(x - 2)(x + 2)}$ .

Cálculo Universitario

Aplica el método del tapado de Heaviside para hallar la constante $A$ en la descomposición de $\frac{7x - 1}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}$ .

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1. Para aislar $A$ , eliminamos mentalmente el factor $(x - 3)$ del denominador.

2. Evaluamos en la raíz $x = 3$ :

$A = \frac{7(3) - 1}{3 + 1} = \frac{21 - 1}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Pensamiento Lógico

En la misma fracción $\frac{7x - 1}{(x - 3)(x + 1)}$ , ¿cuál es el valor de la constante $B$ ?

Ver la explicación completa

1. Tapamos el factor $(x + 1)$ .

2. Evaluamos en $x = -1$ :

$B = \frac{7(-1) - 1}{-1 - 3} = \frac{-7 - 1}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$

Por lo tanto: $\frac{7x - 1}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{5}{x - 3} + \frac{2}{x + 1}$ .

Checklist del Matemático

✓ Grado: Asegúrate de que el numerador tenga menor grado que el denominador (divide primero si no).
✓ Factorización: Factoriza el denominador en sus factores primos irreducibles reales.
✓ Heaviside: Úsalo para factores lineales distintos; te ahorra mucho álgebra.
✓ Cuadráticos: No olvides colocar $Ax + B$ sobre cualquier factor cuadrático irreducible.