26. Operaciones Combinadas con Expresiones Racionales

Para empezar

Ida a 60, vuelta a 40

Vas en moto a la finca a 60 km/h y vuelves por la misma carretera a 40 km/h (velocidades de ejemplo). ¿Cuál fue tu velocidad promedio? No es 50: vas más tiempo despacio que rápido.

Si el trayecto mide d, la ida dura $\frac{d}{60}$ y la vuelta $\frac{d}{40}$ , y el promedio es $\frac{2d}{\frac{d}{60} + \frac{d}{40}} = 48$ km/h. Es una fracción de fracciones: una operación combinada. Mira cómo se simplifica una sin cambiar su valor.

Momento animado

Cada paso cambia la forma, no el valor

Dale a Reproducir o pasa las etapas. Debajo de cada paso está su valor con $x = 2$ .

Paso 1 de 5

\displaystyle \left(1 - \frac{1}{x}\right) \div \frac{x^2 - 1}{x}

Con $x = 2$ , vale $\frac{1}{3}$

AvancePaso 1 de 5

Etapas

Etapa 1 de 5 · La expresión

Una resta dentro de un paréntesis y luego una división. Primero el paréntesis, como en la aritmética.

El valor no cambia en ningún paso:

\frac{1}{3}

1. El Orden del Caos

En expresiones racionales combinadas, la jerarquía de operaciones es tu brújula. Sin un orden estricto, es imposible llegar a la simplificación correcta.

Prioridad de Ejecución

1. Paréntesis y Agrupación

2. Productos y Divisiones

3. Sumas y Restas (al final)

2. Fracciones Compuestas (Dobles)

Una fracción compuesta es aquella donde el numerador, el denominador (o ambos) contienen a su vez otras fracciones. El secreto es resolver cada parte por separado antes de realizar la división final.

Estructura General

\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}

Conocido popularmente como "Ley de la Herradura" o Producto de Extremos.

3. El Algoritmo de Simplificación

Para resolver problemas de nivel universitario, sigue este flujo de trabajo:

Factorizar Todo: Antes de cualquier operación, convierte cada polinomio en sus factores.

Simplificar Internamente: Reduce fracciones individuales si es posible antes de operar.

Ejemplo resuelto

Simplifica 1/(1/a + 1/b)

1
Suma la fracción de abajo
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$
2
Uno entre una fracción es su recíproco
$\frac{1}{\frac{a + b}{ab}} = \frac{ab}{a + b}$
3
Úsalo con la moto
El promedio de ida y vuelta es el doble de esta expresión con a = 60 y b = 40.
$2 \cdot \frac{60 \cdot 40}{60 + 40} = 2 \cdot 24 = 48$

DESAFÍOS COMBINADOS

Ejercicio 1: Mezcla de Operaciones

Simplifica la expresión combinada:

\left( 1 - \frac{1}{x} \right) \div \left( \frac{x^2 - 1}{x} \right)

Ejercicio 2: Fracción Compuesta

Simplifica la fracción doble:

\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}

Reto tipo PISA: La Ecuación de las Lentes en Óptica

En óptica, la distancia focal $f$ de una lente se relaciona con la distancia del objeto $d_o$ y la imagen $d_i$ mediante una fracción compuesta:

f = \frac{1}{\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}}

Simplifica la expresión de la derecha para obtener una única fórmula de cálculo directo que el fabricante de cámaras pueda programar:

Reflexión Final del Módulo

Las operaciones combinadas no son difíciles por su contenido, sino por la gestión de errores. Un solo signo mal distribuido en una suma previa a una división arruinará todo el proceso. En ingeniería y cálculo avanzado, la habilidad de simplificar expresiones racionales antes de derivar o integrar ahorra horas de trabajo.

Practica

Tres ejercicios más

Comprueba cada resultado con un número: si cambia el valor, algún paso estuvo mal.

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): la velocidad promedio

Vas a 60 km/h y vuelves por el mismo camino a 40 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio del viaje completo?

Ejercicio 5: una fracción compuesta

Simplifica

\dfrac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

Ejercicio 6: combinada con diferencia de cuadrados

Simplifica

\left(\frac{2}{x} + 1\right) \div \left(\frac{4}{x^2} - 1\right)