25. Producto y División de Fracciones Algebraicas

Para empezar

Dos tercios de la receta

Una receta de arepas pide $\frac{3}{4}$ de taza de leche, pero vas a hacer solo $\frac{2}{3}$ de la receta (cantidades de ejemplo). ¿Cuánta leche usas? Los $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$ : eso es una multiplicación, $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ .

¿Por qué se multiplica arriba con arriba y abajo con abajo? Míralo en un cuadrado.

Momento animado

Una parte de una parte

Dale a Reproducir o arrastra la barra. El cuadrado grande vale 1.

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Etapas

Etapa 1 de 5 · La unidad

Un cuadrado completo vale 1. Se parte en 3 franjas iguales y se pintan 2: $\frac{2}{3}$ .

\frac{2}{3}

1. Multiplicación: El Camino Directo

A diferencia de la suma, multiplicar fracciones algebraicas es un proceso directo: multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí.

Regla del Producto

\frac{A(x)}{B(x)} \cdot \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{A(x) \cdot C(x)}{B(x) \cdot D(x)}

Estrategia Maestra

¡No multipliques todavía! Primero factoriza cada polinomio. Si multiplicas antes de simplificar, terminarás con expresiones de grado muy alto difíciles de manejar.

2. División: El Método del Recíproco

Dividir es equivalente a multiplicar por el inverso de la segunda fracción. Solo necesitas "voltear" la segunda expresión y proceder como en una multiplicación.

Regla de la División

\frac{A(x)}{B(x)} \div \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{A(x)}{B(x)} \cdot \frac{D(x)}{C(x)}

3. El Arte de Cancelar

Una vez que has factorizado y planteado la multiplicación única, puedes cancelar factores idénticos que aparezcan tanto en el numerador como en el denominador.

Paso 1: Factorización

Convierte trinomios y diferencias de cuadrados en sus factores primos.

Paso 2: Cancelación

Cualquier factor $(x-k)$ arriba se anula con un $(x-k)$ abajo.

Ejemplo resuelto

Multiplica (x² − 9)/(x + 2) · (x + 2)/(x − 3)

1
Anota lo prohibido
Los denominadores no pueden valer 0: x ≠ −2 y x ≠ 3.
2
Factoriza todo
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x - 3}$
3
Cancela los factores que están arriba y abajo
(x − 3) y (x + 2) están arriba y abajo: se van. Queda x + 3.
$\begin{gathered} \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 2)}{(x + 2)(x - 3)} \\[4pt] = x + 3 \end{gathered}$
4
Escribe el resultado con sus restricciones
$x + 3, \quad x \neq -2,\; x \neq 3$

TALLER DE OPERACIONES

EJERCICIO 1: MULTIPLICACIÓN

Calcula y simplifica el producto algebraico:

\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} \cdot \frac{x+1}{x-1}

EJERCICIO 2: DIVISIÓN

Simplifica el cociente de fracciones:

\frac{5x^2}{y^3} \div \frac{10x}{y}

Escenario tipo PISA: Economía de Escala

Costo por Unidad

El costo total se modela por $C(x) = \frac{x^2+5x}{x+1}$ y las unidades por $U(x) = \frac{x}{x+1}$ .

Para hallar el costo unitario, debemos calcular $C(x) \div U(x)$ . ¿Cuál es la expresión simplificada para el costo unitario?

ANÁLISIS DE COSTO UNITARIO

Selecciona la función de costo unitario simplificada:

Reflexión Estratégica

A diferencia de las fracciones numéricas, en el álgebra es vital identificar los valores que anulan el denominador (donde la expresión no existe) antes de simplificar. Al cancelar un factor como $x-1$ , recuerda que la expresión resultante es válida solo para $x \neq 1$ , ya que la división por cero no existe en los números reales.

Practica

Tres ejercicios más

Factoriza antes de multiplicar: así cancelas sin hacer cuentas largas.

Ejercicio 3: la receta

Si una receta pide 3/4 de taza de leche y haces 2/3 de la receta, ¿cuánta leche usas?

Ejercicio 4: cancelar

Multiplica

\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2}

Ejercicio 5 (tipo Saber 11): dividir

Calcula

\frac{x^2 - 4}{3x} \div \frac{x + 2}{6x^2}