24. Suma y Resta de Fracciones Algebraicas

Para empezar

Dos llaves llenando el mismo tanque

Una llave llena un tanque en 2 horas y otra en 3 (tiempos de ejemplo). En una hora, la primera llena $\frac{1}{2}$ del tanque y la segunda, $\frac{1}{3}$ . Si las abres juntas, ¿qué parte llenan en una hora?

Mucha gente responde $\frac{2}{5}$ , sumando arriba y abajo. Pero eso es menos que lo que llena la primera sola. ¿Cómo se suman fracciones de verdad? Míralo con barras.

Momento animado

Sumar fracciones: primero pedazos iguales

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Las dos barras son del mismo tamaño: la unidad.

AvanceEtapa 1 de 5

Etapas

Etapa 1 de 5 · Dos fracciones

Media barra y un tercio de barra. ¿Cuánto es $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ? No es $\frac{2}{5}$ : eso sería menos que la mitad sola.

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \;?

1. El Caso Directo: Denominadores Iguales

Cuando las fracciones ya comparten el mismo denominador, la operación es directa: simplemente operamos los numeradores y mantenemos el denominador común.

Propiedad Fundamental

\frac{A(x)}{D(x)} \pm \frac{B(x)}{D(x)} = \frac{A(x) \pm B(x)}{D(x)}

2. El Desafío: Denominadores Distintos

Si los denominadores son diferentes, debemos aplicar la lección anterior: encontrar el mínimo común denominador (el mcm de los denominadores) para homogeneizar las fracciones antes de operar.

Paso Crítico: Al restar, recuerda que el signo menos afecta a todos los términos del numerador de la segunda fracción. Usa paréntesis para evitar errores de signos.

3. Hoja de Ruta para el Éxito

Homogeneizar

Halla el MCM y ajusta numeradores.

Operar

Suma o resta los términos semejantes del numerador.

Simplificar

Factoriza el resultado final para ver si algo se cancela.

Ejemplo resuelto

Resta 3/(x − 1) − 2/(x + 1)

1
Común denominador
Los denominadores no comparten factores: el mcm es su producto.
$(x - 1)(x + 1)$
2
Amplifica cada fracción
$\begin{aligned} &\frac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \\[4pt] &- \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \end{aligned}$
3
Resta los numeradores, con paréntesis
El menos afecta a todo el segundo numerador: −2(x − 1) = −2x + 2.
$\frac{3x + 3 - 2x + 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 5}{x^2 - 1}$
4
Comprueba con x = 2
Arriba: 3/1 − 2/3 = 7/3. El resultado: (2 + 5)/(4 − 1) = 7/3. Coinciden.

GIMNASIO ALGEBRAICO

EJERCICIO 1: SUMA BÁSICA

Simplifica la expresión fraccionaria:

\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x}

EJERCICIO 2: CUIDADO CON LA RESTA

Realiza la resta algebraica:

\frac{2x}{x-3} - \frac{x+1}{x-3}

Problema tipo PISA: Circuitos Eléctricos

Resistencia Combinada

En un circuito con dos resistencias en paralelo, la conductancia total $G$ se define como la suma de las conductancias individuales:

$G = \frac{1}{R} + \frac{1}{R+5}$ ¿Qué expresión simplificada y unificada representa la conductancia $G$ ?

MODELO UNIFICADO DE CONDUCTANCIA

Selecciona la expresión unificada de la conductancia:

Practica

Tres ejercicios más

Comprueba cada resultado reemplazando x por un número sencillo.

Ejercicio 4: las llaves con letras

Una llave llena un tanque en x horas y otra en x + 1 horas. ¿Qué parte del tanque llenan juntas en una hora?

Ejercicio 5: una resta

Calcula

\frac{2}{x} - \frac{1}{x + 2}

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): las llaves con números

Una llave llena un tanque en 2 horas y otra en 3 horas. Abiertas juntas, ¿qué parte del tanque llenan en una hora?

Reflexión de Nivel Universitario

Al terminar una suma o resta, siempre intenta factorizar el numerador resultante. Es muy común en exámenes que el resultado final se pueda simplificar aún más cancelando factores con el denominador común. Si no simplificas, la respuesta se considera incompleta en entornos académicos rigurosos.