22. Simplificación de Fracciones Algebraicas

Para empezar

El error de la hoja de cálculo

Escribe en una hoja de cálculo la fórmula $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ y llénala para x = 1, 2, 3, 4. Salen 4, 5, un error de división entre cero (#¡DIV/0!) y 7. Pero si simplificas, la fracción es $x + 3$ , y con x = 3 eso da 6.

¿Quién tiene razón, la hoja o el álgebra? Las dos, si se dice completo. Míralo punto por punto.

Momento animado

El punto que se pierde al simplificar

Dale a Reproducir: la fracción se calcula punto por punto y la reproducción se detiene en x = 3.

$x^2 - 9$

−8

$x - 3$

−4

cociente

Valor de xx = −1

Etapas

Etapa 1 de 5 · Calcular

Para cada x se calcula el numerador y el denominador, y se divide. Con x = −1: $\frac{1 - 9}{-1 - 3} = \frac{-8}{-4} = 2$ .

\frac{(-1)^2 - 9}{-1 - 3} = \frac{-8}{-4} = 2

1. El Principio Universal de la Simplificación

Simplificar una fracción algebraica consiste en transformarla en una expresión equivalente irreducible cuyos términos no compartan factores comunes (excepto el 1). Se fundamenta en la Propiedad Invariante de las Fracciones:

{\frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot R(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad \text{donde } Q(x) \neq 0, \; R(x) \neq 0}

A diferencia de la aritmética simple, en álgebra está terminantemente prohibido tachar términos que se estén sumando o restando: únicamente se cancelan factores completos que estén multiplicando a la totalidad del numerador y del denominador.

Concepto Clave

"Solo se pueden simplificar factores comunes, jamás términos independientes o sumandos."

Error frecuente: tachar sumandos

Tachar la x en $\frac{x + 5}{x}$ y escribir 5 es el error más común del tema. Pruébalo con x = 5: $\frac{5 + 5}{5} = 2$ , no 5. La $x$ de arriba está sumando, no multiplicando. Para simplificar, arriba y abajo tienen que estar factorizados en forma de producto, y solo se cancelan factores.

Laboratorio Didáctico Interactivo

Microscopio de Cancelación: Factores vs Sumandos

Diferencia de Cuadrados: (x² - 16) / (x - 4)Paso 3 de 3

\frac{x^2 - 16}{x - 4} = x + 4 \quad (x \neq 4)

El numerador se factoriza como diferencia de cuadrados: (x - 4)(x + 4). El factor (x - 4) se cancela arriba y abajo.

2. Protocolo de Resolución en 3 Pasos

Para reducir cualquier fracción a su mínima expresión, aplica este algoritmo metódico:

1Factorización Total: Factoriza tanto el numerador como el denominador usando factor común, trinomios o diferencia de cuadrados.
2Identificación de Factores Comunes: Localiza factores idénticos o con signos opuestos ( $a - b = -(b - a)$ ).
3Cancelación y Dominio: Cancela los factores idénticos y anota las restricciones para evitar división por cero.

Ejemplo resuelto

Simplifica (x² − 4)/(x² + 2x)

1
Antes de tocar nada, anota el dominio
El denominador es x² + 2x = x(x + 2), que vale 0 en x = 0 y en x = −2. Esos dos valores quedan fuera.
2
Factoriza arriba y abajo
$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x + 2)}$
3
Cancela solo el factor común
El factor (x + 2) está multiplicando arriba y abajo.
$\frac{(x - 2)\cancel{(x + 2)}}{x\cancel{(x + 2)}} = \frac{x - 2}{x}$
4
Escribe el resultado con sus restricciones
La x de arriba y la de abajo no se tachan: en x − 2 la x está sumando.
$\begin{gathered} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} = \frac{x - 2}{x} \\[4pt] x \neq 0,\; x \neq -2 \end{gathered}$
5
Comprueba con un número permitido
Con x = 1: (1 − 4)/(1 + 2) = −3/3 = −1, y (1 − 2)/1 = −1. Coinciden.

Practica

Factorizar, cancelar y no olvidar el dominio

Seis ejercicios de selección; dos son del libro. Después vienen tres de respuesta abierta.

Ejercicio 1: del libro, el dominio

¿Qué valores de x quedan fuera del dominio de

g(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}

Ejercicio 2: factorizar dos veces

Simplifica

\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}

Ejercicio 3: del libro

Simplifica

\frac{6x^2}{9x}

, con

x \neq 0

Ejercicio 4 (tipo Saber 11): ¿son la misma?

Al simplificar

\frac{x^2 - 9}{x - 3}

se obtiene x + 3. ¿Cuál afirmación es correcta?

Ejercicio 5: el signo opuesto

Simplifica

\frac{3 - x}{x - 3}

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): ¿cuál está bien?

¿Cuál de estas simplificaciones es correcta?

Taller de Entrenamiento Activo

Simplifica la fracción algebraica $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$ .

Ver la explicación completa

1. Numerador: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

2. Denominador: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)$

3. Cancelamos el factor común $(x + 3)$ :

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 3}$

Aplica el truco del signo opuesto: ¿Cuál es el resultado de simplificar $\frac{5 - x}{x - 5}$ ?

Ver la explicación completa

1. Extraemos el factor $-1$ del numerador: $5 - x = -(x - 5)$

2. Reescribimos: $\frac{-(x - 5)}{x - 5}$

3. Cancelamos $(x - 5)$ y nos queda exactamente $-1$ .

Pensamiento Lógico

Al intentar simplificar la fracción $\frac{x^2 + 25}{x + 5}$ , un estudiante canceló términos y concluyó que el resultado es $x + 5$ . ¿Es correcta su conclusión? (Responde Sí o No).

Ver la explicación completa

Respuesta: No.

$x^2 + 25$ es una suma de cuadrados, la cual es irreducible en el conjunto de los números reales. No tiene factores en común con $(x + 5)$ . La fracción no se puede simplificar más.