21. Concepto y Dominio de una Fracción Algebraica

Para empezar

El costo de cada tonelada de basura

La Comisión de Regulación de Agua Potable y Saneamiento Básico (CRA) fija cuánto se le puede reconocer, como máximo, a un relleno sanitario por cada tonelada. La parte principal de esa cuenta es una fracción: con Q toneladas al mes,

$C(Q) = 18\,722 + \frac{132\,924\,379}{Q}$ pesos por tonelada

(Resolución 720 de 2015, pesos de diciembre de 2014; así la presenta el libro «Matemáticas para un mundo sostenible», en su capítulo 10). Para un relleno pequeño, de 1.500 toneladas al mes, sale a unos $107.338 por tonelada. Pero con $Q = 0$ la fórmula pide dividir entre 0. ¿Qué pasa con una fracción cuando su denominador se acerca a 0?

Momento animado

El número que el denominador no deja pasar

$f(x) = \frac{6}{x - 2}$ . Dale a Reproducir: se detiene en x = 2.

numerador

$x - 2$

−4

fracción

−1,5

Valor de xx = −2

Etapas

Etapa 1 de 5 · Calcular

Con x = −2 el denominador es $-2 - 2 = -4$ y la fracción vale $\frac{6}{-4} = -1{,}5$ . Para cada x se hace la misma cuenta.

\frac{6}{(-2) - 2} = \frac{6}{-4} = -1{,}5

1. ¿Qué es una Fracción Algebraica?

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas (típicamente polinomios) donde la variable aparece obligatoriamente en el denominador:

F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad \text{con } Q(x) \neq 0

Donde $P(x)$ es el numerador y $Q(x)$ es el denominador. A diferencia de las fracciones numéricas puras como $\frac{3}{4}$ , el valor numérico de la fracción algebraica fluctúa dinámicamente según el valor que adopte la variable independiente $x$ .

Concepto Clave

"Toda fracción algebraica representa una división donde el divisor es una función variable de x."

2. El Dominio: El Campo de Existencia Real

En el conjunto de los Números Reales ( $\mathbb{R}$ ), la división por cero no está definida bajo ningún axioma. Por lo tanto, una fracción algebraica solo existe para aquellos valores de $x$ que no anulen al denominador.

Restricción Fundamental de Existencia

El dominio de $\frac{P(x)}{Q(x)}$ es el conjunto de todos los $x \in \mathbb{R}$ tales que $Q(x) \neq 0$ . Los valores de $x$ que provocan $Q(x) = 0$ se denominan valores prohibidos o puntos de discontinuidad.

Laboratorio Interactivo de Dominio y Puntos Prohibidos

Observa la expulsión de raíces del denominador en la recta real continua.

Parámetro de desplazamiento (

a

):3

Expresión RacionalQ(x) ≠ 0

f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}

Ecuación de restricción:

x - 3 = 0 \implies x = 3

Puntos excluidos: {3}

Visualización en la Recta Numérica Real (

\mathbb{R}

)

Dominio permitidoPunto Prohibido (

Q=0

)

Conjunto Dominio Formal

\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\}

El denominador se anula en un único punto x = 3. En la recta real hay un único 'agujero' prohibido.

Concepto Clave

"Hallar el dominio consiste en encontrar los ceros del denominador y expulsarlos sin piedad del conjunto de los números reales."

3. Algoritmo Sistemático de 3 Pasos

Para determinar el dominio de cualquier fracción algebraica de forma infalible, sigue este procedimiento estandarizado:

Aislar el Denominador

Ignora por completo el numerador e iguala el denominador a cero: $Q(x) = 0$ .

Resolver la Ecuación

Encuentra todas las raíces reales mediante despeje directo, factorización o fórmula cuadrática.

Declarar la Exclusión

Escribe el dominio como $\text{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{x_1, x_2, \dots\}$ .

Ejemplo resuelto

El dominio de (x + 1)/(x² − 9)

1
Iguala a 0 solo el denominador
El numerador puede valer 0 sin problema: 0 dividido entre un número es 0.
$x^2 - 9 = 0$
2
Resuelve
Es una diferencia de cuadrados.
$\begin{gathered} (x - 3)(x + 3) = 0 \\ x = 3 \text{ o } x = -3 \end{gathered}$
3
Escribe el dominio
$\text{Dominio: } x \neq 3,\; x \neq -3$
4
Comprueba un valor de cada clase
Con x = 3 el denominador da 9 − 9 = 0 (prohibido). Con x = −1 el numerador da 0 y la fracción vale 0/(−8) = 0, que sí existe.

Ejercicios de entrenamiento

Ejercicio 1: Restricción Lineal Simple

¿Cuál es el dominio de la expresión racional f(x) = (5x + 3) / (2x - 8)?

Ejercicio 2: La Gran Trampa de la Simplificación Previa

Dada la fracción algebraica g(x) = (x - 3) / (x² - 9), un estudiante afirma: 'Como x² - 9 = (x - 3)(x + 3), puedo cancelar (x - 3) y me queda 1/(x + 3), así que el dominio es solo ℝ \ {-3}'. ¿Es correcta la deducción del estudiante?

Ejercicio 3: Denominador Cuadrático sin Raíces Reales

¿Cuál es el dominio de la función racional h(x) = (7x) / (x² + 25)?

Practica

Tres ejercicios más

En cada uno, mira solo el denominador.

Ejercicio 4: del libro

¿Cuál es el dominio de

g(x) = \frac{1}{x + 4}

Ejercicio 5: un denominador con factor común

¿Qué valores quedan fuera del dominio de

\frac{5}{x^2 - 4x}

Ejercicio 6 (tipo Saber 11): el costo promedio

En una estación de reciclaje, el costo promedio por tonelada es

\overline{C}(x) = 150\,000 + \frac{12\,000\,000}{x}

pesos, con x toneladas al mes (datos hipotéticos del libro). ¿Qué valores de x tienen sentido en esta situación?

Reflexión Teórica de Nivel Superior (Cálculo y Álgebra)

"El concepto de dominio de una fracción algebraica es el cimiento de los límites y las asíntotas en Cálculo Diferencial. Los valores excluidos del dominio corresponden geométricamente a dos fenómenos gráficos fascinantes: Asíntotas Verticales (cuando el factor no se cancela y la curva se dispara hacia el infinito) o Puntos Huecos (cuando el factor se cancela con el numerador y deja un agujero puntual en la gráfica)."

Regla de oro para tu examen: Siempre que veas una fracción algebraica, tu primer instinto debe ser preguntar: ¿Qué valores de x provocan una catástrofe en el denominador?