9. Identidades Notables: Suma por Diferencia

En el descanso, un amigo te reta: «multiplica 21 por 19 de memoria, ya». Hay un camino corto. 21 es 20 + 1 y 19 es 20 − 1, así que $21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399$.

¿Por qué un producto se vuelve una resta de dos cuadrados? Míralo con piezas: un cuadrado al que le quitas una esquina se puede reacomodar en un rectángulo.

En el dibujo el área nunca cambia: solo se cortan y se mueven piezas. Por eso la L, $a^2 - b^2$, y el rectángulo de $a + b$ por $a - b$ miden lo mismo.

Con la propiedad distributiva se ve por qué no queda término del medio: $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$. El $-ab$ y el $+ba$ se cancelan. Los dos factores se llaman binomios conjugados: tienen los mismos términos y solo cambia un signo.

1. 1

   Revisa que sean conjugados

   Los dos tienen x y 4; en uno se suma y en el otro se resta. Entonces a = x y b = 4.
2. 2

   El cuadrado del primero

   $$x^2$$
3. 3

   Menos el cuadrado del segundo

   $$-\,4^2 = -16$$
4. 4

   Si dudas, multiplica todo

   Los términos del medio se anulan.

   $$\begin{aligned} &x \cdot x - 4x + 4x - 16 \\ &= x^2 - 16 \end{aligned}$$
5. 5

   Compruébalo con un número

   Con x = 10: (10 + 4)(10 − 4) = 14 · 6 = 84, y 100 − 16 = 84.

Y al revés sirve para factorizar: $x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7)$. Lo vas a usar mucho en la lección 17.

Seis ejercicios: tres de álgebra y tres de cuentas que se hacen de memoria con la identidad.