8. Identidades Notables: Cuadrado de una Diferencia

Aprende a expandir (a-b)² correctamente y entiende por qué el último término siempre es positivo.

Estudiar en la plataforma interactiva
Para empezar

Recortar la foto de perfil

Tienes una foto cuadrada impresa de 6 cm por lado y la quieres de 4 cm para pegarla en una cartelera. Le cortas 2 cm a la derecha y 2 cm abajo, y sigue siendo cuadrada.

¿Cuánta foto queda? Si calculas 62−22=326^2 - 2^2 = 32 cm², te pasaste: quedan 42=164^2 = 16. Y si le restas dos franjas de 6 por 2, te queda 36−24=1236 - 24 = 12, que tampoco es. ¿Qué se está contando mal? Mira las tijeras.

Momento animado

Recortar un cuadrado: (a − b)²

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Cada cuadrito es 1 cm²: todo está a escala.

a = 6
  • lo que queda
  • lo que se corta (ab)
  • la esquina que se devuelve (b²)
Etapa 1 de 5
Etapas

Etapa 1 de 5 · a²

La foto mide 6 cm por lado: a2=36a^2 = 36 cm². Quieres que quede de 4 cm por lado.

a2=62=36a^2 = 6^2 = 36
La idea

Lo que se resta dos veces se devuelve una vez

Las dos franjas de aa por bb se cruzan en la esquina. Al restar 2ab2ab esa esquina, b2b^2, se resta dos veces, y por eso hay que sumarla una vez. Ese es el último término, y siempre es positivo.

Cuadrado de una diferencia
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

El cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Con la propiedad distributiva se ve lo mismo con los signos: (a−b)(a−b)=a2−ab−ba+(−b)(−b)=a2−2ab+b2(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + (-b)(-b) = a^2 - 2ab + b^2. El +b2+b^2 sale de «menos por menos».

Mueve los lados y cuenta: el cuadrado azul es lo que queda después de recortar.

Laboratorio

El arte de recortar: (a − b)²

¿Por qué se suma b² si estamos restando? Cada cuadrito es una unidad de área.

(a − b)²168b(a − b)8b²4a = 6a − b = 4b = 2a − bb
  • (a − b)² = 16
  • 2 × b(a − b) = 2 × 8
  • b² = 4
(6−2)2=62−2⋅6⋅2+22=36−24+4=16(6 - 2)^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 + 2^2 = 36 - 24 + 4 = 16

El cuadrado azul tiene 16 cuadritos. Al cuadrado de 36 se le quitan dos franjas de 6 × 2 = 12 (cada una es una zona rayada más el cuadrado amarillo), y como el amarillo b² = 4 se quitó dos veces, se devuelve una vez.

a = 6
b = 2

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Ejemplo resuelto

Desarrolla (3x − 5)²

  1. 1

    Reconoce el primero y el segundo

    a = 3x y b = 5. El signo menos ya está en la fórmula: b se toma sin él.
    (3x⏟a−5⏟b)2(\underbrace{3x}_{a} - \underbrace{5}_{b})^2
  2. 2

    El cuadrado del primero

    (3x)2=9x2(3x)^2 = 9x^2
  3. 3

    Menos el doble del primero por el segundo

    − 2⋅3x⋅5=−30x-\,2 \cdot 3x \cdot 5 = -30x
  4. 4

    Más el cuadrado del segundo

    Siempre más: es la esquina que se devuelve.
    + 52=+25+\,5^2 = +25
  5. 5

    Junta los tres términos

    (3x−5)2=9x2−30x+25(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25
  6. 6

    Compruébalo con un número

    Con x = 1: (3 − 5)² = (−2)² = 4, y 9 − 30 + 25 = 4. Coinciden.

Sirve para calcular de memoria: 492=(50−1)2=2 500−100+1=2 40149^2 = (50 - 1)^2 = 2\,500 - 100 + 1 = 2\,401.

Practica

Recortes, signos y cuentas de memoria

Seis ejercicios. Cada opción incorrecta te dice qué cuenta salió mal.

Ejercicio 1: el repaso del libro
Desarrolla (x−3)2(x - 3)^2.
Ejercicio 2: coeficientes y dos letras
Desarrolla (5x−3y)2(5x - 3y)^2.
Ejercicio 3 (tipo PISA): la cartulina con margen
Una cartulina cuadrada mide x cm por lado. Le recortas 2 cm en cada uno de sus 4 bordes y sigue siendo cuadrada. ¿Qué expresión da el área de lo que queda?
Ejercicio 4: de memoria
Calcula 49249^2 escribiéndolo como (50−1)2(50 - 1)^2.
Ejercicio 5 (tipo Saber 11): ¿importa el orden?
Juan dice que (b−a)2(b - a)^2 y (a−b)2(a - b)^2 son iguales. ¿Tiene razón?
Ejercicio 6 (tipo Saber 11): reconocer el cuadrado
¿Cuánto vale x2−10x+25x^2 - 10x + 25 cuando x = 105?