7. Identidades Notables: Cuadrado de una Suma

En muchos colegios de Colombia hay una huerta escolar. Imagina que la tuya es un cuadrado de 5 m por lado y que el consejo directivo aprueba agrandarla 2 m hacia un lado y 2 m hacia el fondo, para que siga siendo cuadrada (son medidas de ejemplo).

El lado nuevo mide $5 + 2 = 7$ m. Mucha gente calcula el área nueva así: $5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$ m². Pero $7^2 = 49$. ¿Dónde quedaron los otros 20 m²? Míralo crecer.

Un cuadrado de lado $a + b$ siempre se parte en cuatro piezas: el cuadrado $a^2$, el cuadradito $b^2$ y dos franjas iguales de $a$ por $b$. Las franjas son las que olvida quien escribe $a^2 + b^2$.

También sale multiplicando, con la propiedad distributiva: $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Los dos productos $ab$ y $ba$ son las dos franjas del dibujo.

Ahora mueve tú los lados. Cada cuadrito es una unidad de área, así que puedes contar las piezas.

1. 1

   Reconoce el primero y el segundo

   El primer término es a = 2x (con su coeficiente) y el segundo es b = 3.

   $$(\underbrace{2x}_{a} + \underbrace{3}_{b})^2$$
2. 2

   El cuadrado del primero

   Se eleva todo el término, coeficiente incluido.

   $$(2x)^2 = 4x^2$$
3. 3

   El doble del primero por el segundo

   Son las dos franjas: no olvides el 2.

   $$2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$$
4. 4

   El cuadrado del segundo

   $$3^2 = 9$$
5. 5

   Junta las cuatro piezas

   $$(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$$
6. 6

   Compruébalo con un número

   Con x = 1, el lado izquierdo da (2 + 3)² = 25 y el derecho da 4 + 12 + 9 = 25. Si te hubiera dado distinto, habría un error.

El mismo truco sirve para calcular sin calculadora: $51^2 = (50 + 1)^2 = 2\,500 + 100 + 1 = 2\,601$.

Seis ejercicios. Cuando te equivoques, lee el porqué: cada opción incorrecta es un error que alguien sí comete.