6. Producto de Polinomios

Aprende a multiplicar polinomios utilizando el método geométrico de áreas y la propiedad distributiva generalizada.

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Para empezar

El parqueadero que se amplía

El parqueadero de un conjunto es un cuadrado de x metros por lado. La administración lo amplía 3 m a lo largo y 2 m a lo ancho (medidas de ejemplo), así que queda de (x+3)(x + 3) por (x+2)(x + 2) metros.

Su área es el producto (x+2)(x+3)(x + 2)(x + 3). Mucha gente multiplica solo «lo primero por lo primero y lo último por lo último» y escribe x2+6x^2 + 6. ¿Qué pedazos del parqueadero se quedan por fuera?

Momento animado

Cada término por cada término

Dale a Reproducir o arrastra la barra. Dibujado con x = 4: cada cuadrito es una unidad de área.

x3x2
  • x · x
  • x por un número
  • número por número
Etapa 1 de 5
Etapas

Etapa 1 de 5 · Los lados

Un rectángulo de lados x+2x + 2 y x+3x + 3. Su área es el producto (x+2)(x+3)(x + 2)(x + 3): hay que llenarlo.

(x+2)(x+3)(x + 2)(x + 3)

La Ley del 'Todos contra Todos'

Multiplicar polinomios es muy parecido a una fiesta donde dos grupos de personas se encuentran: para ser educados, cada miembro del primer grupo debe saludar a cada miembro del segundo grupo.

Matemáticamente, esto se conoce como la Propiedad Distributiva Extendida. Si tienes (a+b)(c+d+e)(a + b)(c + d + e), el término aa multiplica a los tres términos del segundo paréntesis, y luego el término bb hace exactamente lo mismo.

Forma Algebraica

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Observa que resultan 4 términos antes de simplificar (2 términos ×\times 2 términos = 4 productos).

Interpretación Geométrica

El producto de dos longitudes crea un área. Multiplicar binomios es equivalente a calcular el área de un rectángulo dividido en secciones.

Área Total = Suma de Áreas Parciales

Concepto Clave

"Propiedad Distributiva Extendida: Para multiplicar dos polinomios, multiplica CADA término del primer polinomio por CADA término del segundo."

El Método de la Caja (Modelo de Área)

El "Método de la Caja" organiza las multiplicaciones en una tabla. Es infalible para no olvidar ningún término, especialmente cuando los polinomios tienen signos negativos que suelen causar errores.

Modelo de Áreas (Método de la Caja)

Visualiza la multiplicación como áreas rectangulares

(x+)
(x+)
x
+3
x
x²
3x
-2
-2x
-6
Resultado Final
Término x2x^2x²
Términos xx
(3x -2x)x
Constante-6
x2+x−6x^2 +x -6
Consejo: las celdas blancas (diagonal secundaria) contienen los términos semejantes que se suman.
¿Por qué usarlo?

Convierte un problema abstracto de álgebra en un problema visual de "llenar huecos". Al final, solo tienes que sumar las celdas resultantes para obtener el polinomio final.

El Método Lineal (Distributiva)

Aunque el método de la caja es excelente visualmente, a menudo necesitamos calcular más rápido en una sola línea o multiplicar polinomios más grandes (como un binomio por un trinomio). Veamos la anatomía de una multiplicación compleja.

Ejemplo: (x+2)(x2−3x+1)(x + 2)(x^2 - 3x + 1)
Paso 1
Distribuye la xx del primer paréntesis a todo el segundo:
x(x2)+x(−3x)+x(1)=x3−3x2+xx(x^2) + x(-3x) + x(1) = x^3 - 3x^2 + x
Paso 2
Distribuye el 22 del primer paréntesis a todo el segundo:
2(x2)+2(−3x)+2(1)=2x2−6x+22(x^2) + 2(-3x) + 2(1) = 2x^2 - 6x + 2
Total
Suma verticalmente los términos semejantes:
x3+(−3x2+2x2)+(x−6x)+2x^3 + (-3x^2 + 2x^2) + (x - 6x) + 2
=x3−x2−5x+2= x^3 - x^2 - 5x + 2

Entrenamiento Práctico

Ejercicio 1: Multiplicación de Binomio por Trinomio

Expande y simplifica la siguiente expresión prestando atención rigurosa a los signos:

(2x−3)(x2+4x−5)(2x - 3)(x^2 + 4x - 5)
Ejercicio 2: Ampliación de un Parque Rectangular (Tipo PISA)

Un parque rectangular tiene dimensiones iniciales de xx metros de ancho y x+5x + 5 metros de largo.

La alcaldía aprueba una ampliación: se agregan 2 metros al ancho y 3 metros al largo.

Determina el polinomio desarrollado para el ÁREA TOTAL A(x)A(x) del parque ampliado:

Practica

Cuatro ejercicios más

Antes de escoger, cuenta cuántos productos tienen que salir: términos del primero por términos del segundo.

Ejercicio 3: un binomio con resta
Multiplica (x+4)(x−2)(x + 4)(x - 2).
Ejercicio 4: monomio por trinomio
Multiplica 3x(2x2−x+5)3x(2x^2 - x + 5).
Ejercicio 5 (tipo Saber 11): contar antes de multiplicar
Al desarrollar (a+b)(c+d+e)(a + b)(c + d + e), ¿cuántos productos aparecen antes de juntar términos?
Ejercicio 6: el área de la huerta del libro
Una huerta rectangular mide (2x+1)(2x + 1) m de largo y (x+3)(x + 3) m de ancho. ¿Cuál es su área?